摘要：当这位在世的最伟大的数学家揭露了下个世纪的研究愿景时，数学界注意到了这一点。这正是 1900 年在巴黎索邦大学举行的国际数学家大会上发生的事情。传奇数学家大卫·希尔伯特 （David Hilbert） 提出了 10 个未解决的问题，作为 20 世纪雄心勃勃的路
希尔伯特第六个问题的突破是将物理学基础为基础为数学奠定基础的重要一步。
数学家表示，他们已经弄清楚了如何统一解释流体运动的三种物理理论。 （图片来源：Floriana via Getty Images）
当这位在世的最伟大的数学家揭露了下个世纪的研究愿景时，数学界注意到了这一点。这正是 1900 年在巴黎索邦大学举行的国际数学家大会上发生的事情。传奇数学家大卫·希尔伯特 （David Hilbert） 提出了 10 个未解决的问题，作为 20 世纪雄心勃勃的路标。后来，他将他的列表扩展到包括 23 个问题，它们在过去 125 年中对数学思想的影响怎么强调都不为过。
希尔伯特的第六个问题也是最崇高的问题之一。他呼吁将物理学“公理化”，或者确定其所有理论背后的最低限度的数学假设。从广义上讲，尚不清楚数学物理学家是否能够知道他们是否解决了这一挑战。然而，希尔伯特提到了一些具体的子目标，此后研究人员将他的愿景提炼成解决方案的具体步骤。
3 月，芝加哥大学的数学家 Yu 邓 和密歇根大学的 Zaher Hani 和 Xiao 马 在预印本服务器 arXiv.org 上发表了一篇新论文，声称已经破解了其中一个目标。如果他们的工作经得起推敲，这将标志着向物理学奠定数学基础迈出了重大一步，并可能为物理学其他领域的类似突破打开大门。
在这篇论文中，研究人员表示，他们已经弄清楚了如何统一解释流体运动的三个物理理论。这些理论支配着从飞机设计到天气预报的一系列工程应用——但直到现在，它们都建立在尚未得到严格验证的假设之上。这一突破不会改变理论本身，但它在数学上证明了它们的合理性，并增强了我们对方程式以我们认为的方式运作的信心。
每种理论的不同之处在于它对流动液体或气体的放大程度。在微观层面上，流体由粒子组成——小台球在周围晃动，偶尔碰撞——牛顿运动定律很好地描述了它们的轨迹。
但是，当你缩小范围来考虑大量粒子的集体行为时，即所谓的介观水平，单独建模每个粒子就不再方便了。1872 年，奥地利理论物理学家路德维希·玻尔兹曼 （Ludwig Boltzmann） 在开发后来被称为玻尔兹曼方程的理论时解决了这个问题。该方程式不是跟踪每个粒子的行为，而是考虑典型粒子的可能行为。此统计视角可平滑低级细节，以支持更高级别的趋势。该方程允许物理学家计算流体中的动量和热导率等量是如何演变的，而无需费力地考虑每一次微观碰撞。
进一步缩小，您会发现自己置身于宏观世界中。在这里，我们不是将流体视为离散粒子的集合，而是将流体视为单个连续的物质。在这个分析级别上，一套不同的方程——欧拉方程和纳维-斯托克斯方程——准确地描述了流体如何移动以及它们的物理特性如何在完全不依赖粒子的情况下相互关联。
三个级别的分析分别描述了相同的基本现实 — 流体如何流动。原则上，每个理论都应该建立在层次结构中低于它的理论之上：宏观层面的欧拉方程和纳维-斯托克斯方程在逻辑上应该遵循介观层面的玻尔兹曼方程，而玻尔兹曼方程又应该在逻辑上遵循微观层面的牛顿运动定律。这就是希尔伯特在他的第六个问题中呼吁的那种“公理化”，他在对这个问题的描述中明确引用了玻尔兹曼关于气体的工作。我们期望完整的物理学理论遵循数学规则，从微观到宏观层面解释现象。如果科学家未能弥合这一差距，那么它可能表明我们现有理论存在误解。
统一流体动力学的三种观点对该领域构成了顽强的挑战，但 邓、Hani 和 马 可能刚刚做到了。他们的成就建立在数十年的渐进式进步之上。不过，之前的进步都带有某种星号;例如，所涉及的推导仅在短时间尺度、真空或其他简化条件下起作用。
新证明大致包括三个步骤：从介观理论推导出宏观理论;从微观理论中推导出介观理论;然后将它们缝合在一起，形成宏观定律的单一推导，一直从微观定律。
第一步是事先理解的，甚至希尔伯特本人也为此做出了贡献。另一方面，从微观中推导出介观在数学上更具挑战性。请记住，介观设置是关于大量粒子的集体行为的。因此，邓、哈尼和马研究了当碰撞和反弹的单个粒子的数量增长到无穷大并且它们的大小缩小到零时，牛顿方程会发生什么。他们证明，当你将牛顿方程拉伸到这些极端时，系统的统计行为——或者流体中“典型”粒子的可能行为——会收敛到玻尔兹曼方程的解。此步骤通过从微观数学的极端行为中推导出介观数学来形成一座桥梁。
此步骤的主要障碍涉及方程建模的时间长度。人们已经知道如何在很短的时间尺度上从牛顿定律推导出玻尔兹曼方程，但这对于希尔伯特的程序来说还不够，因为现实世界的流体可以在任何时间内流动。时间尺度越长，复杂性就越高：发生的碰撞越多，粒子交互的整个历史可能会影响其当前行为。作者通过仔细计算粒子的历史对其现在的影响程度，并利用新的数学技术来论证先前碰撞的累积效应仍然很小，从而克服了这一点。
将他们的长期突破与之前从玻尔兹曼方程推导出欧拉方程和纳维-斯托克斯方程的工作结合在一起，统一了流体动力学的三个理论。这一发现证明了根据上下文中最有用的内容对流体采取不同观点是合理的，因为从数学上讲，它们收敛于一个描述一个现实的终极理论。假设证明是正确的，它在希尔伯特的程序中开辟了新天地。我们只能希望，通过这些新的方法，大坝将在希尔伯特的挑战下决堤，更多的物理学将流向下游。
来源：小罗的科学讲堂