摘要：看见这个题很多学生完全没有思路，考察的是一个四棱锥的两个内切球问题。如图，在一个底面边长为2，侧棱长等于根号10的正四棱锥P-ABCD中，大球0内切于该四棱锥，小球0与大球0及四棱锥的四个侧面相切，则小球0的体积为？

看见这个题很多学生完全没有思路，考察的是一个四棱锥的两个内切球问题。如图，在一个底面边长为2，侧棱长等于根号10的正四棱锥P-ABCD中，大球0内切于该四棱锥，小球0与大球0及四棱锥的四个侧面相切，则小球0的体积为？

求小球0的体积怎么办？画一个轴截面，只画其中的一部分，画完以后根据AB的长度等于2，所以OM的长度就是1，根据相切，所以这是垂直，这也是垂直。

如果遇到了直角三角形，用三角函数，一般情况下比较简单，想想测能长为根号10对不对？测能长根号10，TM是多长？TM就需要通过P点往AD做垂线，这是M点，此时AM不就是1吗？所以TM的长度根据三线合一勾股定理就可以得到，它就等于3，所以P0的长度就等于2倍的根号下2，因此就可以得到正弦C就等于OM是1，比上PM等于3，就是1比上3。

假设大球的半径为大二，则OE也是大二，根据三角函数要等于OEN就是大二，比上TOE，所以可以得到P01的长度就是3倍大二，所以这一段就是3倍的大二。而OEN这一段是大二，所以上面OEN是多少了？就是2倍的大二了对不对？

假设O2的半径是小二，换个颜色，这一段是小二，这一段也是小二，所以TO2的长度就是22减去小二一尺，上弦C又等于小二，以上TO2就是22减去小二等于三分之一，所以3倍的小二就等于22，然后减去2，所以就可以得到小二等于二分之一大二。

根据刚才的提议，知道整个PO的长度就等于2倍的根号2，就等于4倍的大二，所以可以得到大二就等于二分之根二，因此小二就等于四分之根号下2，第二小球的体积V就等于三分之四倍的π小二的立方。预算一下，最后结果就是二十四分之根号二，然后再乘以π。

再次提醒，如果出现了多个直角三角形的问题怎么办？借助三角函数比较简单，当然了也可以借助相似去做相似，比三角函数要麻烦一些。如果出现了内切球，或者是外接球问的难点，那就是空间想象能力。所以拿出这么一个轴接面来便于研究各量之间的关系。

有人问专栏都讲了哪些内容？也看一下目录就明白了。专栏包括高一数学下学期的全部内容，因为红布篇和提高篇。红布篇四百六十九课完以后就可以通关高一下学期的全部内容。高篇用学有余力的同学选看。大家学习愉快。

来源：六维坐标系