摘要：矩阵乘法是线性代数的核心运算，广泛应用于科学计算、工程、经济学和计算机图形学等领域。两个 n×n 矩阵相乘的传统方法（朴素算法）需要 n³ 次乘法和加法运算，时间复杂度为 O(n³)。在 20 世纪 60 年代，计算机速度慢且昂贵，这种立方复杂度导致大规模矩阵
矩阵乘法的重要性
矩阵乘法是线性代数的核心运算，广泛应用于科学计算、工程、经济学和计算机图形学等领域。两个 n×n 矩阵相乘的传统方法（朴素算法）需要 n³ 次乘法和加法运算，时间复杂度为 O(n³)。在 20 世纪 60 年代，计算机速度慢且昂贵，这种立方复杂度导致大规模矩阵计算耗时极长。提高矩阵乘法效率不仅能节省计算资源，还能推动依赖线性代数的领域发展。
在那个时代，学术界普遍认为 O(n³) 是矩阵乘法的最优复杂度，就像此前认为整数乘法需要 O(n²) 一样。然而，1962 年阿纳托利·卡拉苏巴（Anatoly Karatsuba）的快速整数乘法算法打破了二次复杂度障碍，启发了研究者质疑矩阵乘法的传统方法。1969 年，沃尔克·斯特拉森（Volker Strassen）以惊人的方式回应了这一挑战。
挑战立方复杂度
20 世纪 60 年代，算法分析领域刚刚兴起，研究者开始系统化地研究计算复杂性。卡拉苏巴的整数乘法算法表明，传统方法并非最优，这激发了学术界对矩阵乘法的兴趣：是否存在比 O(n³) 更快的算法？这个问题看似无解，因为矩阵乘法需要逐行逐列计算每个元素，表面上无法简化。
沃尔克·斯特拉森，一位德国数学家，1968 年在苏黎世大学担任教授时开始研究这一问题。他最初的目标是证明传统算法的 n³ 次乘法是最优的，选择了最简单的 2×2 矩阵作为切入点。然而，他的尝试以“惊人的失败”告终——他发现了一种仅需 7 次乘法（而非 8 次）的方法，彻底颠覆了传统观念。
斯特拉森算法的核心
斯特拉森算法的关键在于对 2×2 矩阵乘法的优化。传统方法计算两个 2×2 矩阵的乘积需要 8 次乘法和多次加法。斯特拉森通过巧妙的代数恒等式，设计了一组运算，仅用 7 次乘法和 18 次加法完成相同任务。以下是其基本原理：
对于两个 2×2 矩阵 A 和 B，计算 C = A × B，传统方法需要计算：
C[1,1] = A[1,1]×B[1,1] + A[1,2]×B[2,1]C[1,2] = A[1,1]×B[1,2] + A[1,2]×B[2,2]C[2,1] = A[2,1]×B[1,1] + A[2,2]×B[2,1]C[2,2] = A[2,1]×B[1,2] + A[2,2]×B[2,2]共需 8 次乘法。斯特拉森设计了 7 个中间变量（M1 到 M7），通过加减运算组合输入元素，计算结果如下：
M1 = (A[1,1] + A[2,2]) × (B[1,1] + B[2,2])M2 = (A[2,1] + A[2,2]) × B[1,1]M3 = A[1,1] × (B[1,2] - B[2,2])M4 = A[2,2] × (B[2,1] - B[1,1])M5 = (A[1,1] + A[1,2]) × B[2,2]M6 = (A[2,1] - A[1,1]) × (B[1,1] + B[1,2])M7 = (A[1,2] - A[2,2]) × (B[2,1] + B[2,2])最终，C 的元素通过加减 M1 到 M7 得到：
C[1,1] = M1 + M4 - M5 + M7C[1,2] = M3 + M5C[2,1] = M2 + M4C[2,2] = M1 - M2 + M3 + M6这种方法减少了一次乘法，但增加了加法次数。斯特拉森将这一思想递归应用于大矩阵，将矩阵分成四个子矩阵，重复应用 7 次乘法策略。
时间复杂度分析
传统算法的时间复杂度为 O(n³)。斯特拉森算法通过递归将矩阵分成更小的子矩阵，每次递归需要 7 次子矩阵乘法（而非 8 次），子矩阵规模为 n/2。因此，其时间复杂度满足递推关系：
T(n) = 7T(n/2) + O(n²)
根据主定理，复杂度为 O(n^{log₂7}) ≈ O(n^{2.807})，显著低于 O(n³)。
实际应用与局限性
斯特拉森算法在大矩阵计算中表现出色，尤其在科学计算、图像处理和机器学习等领域。例如，在深度学习中，卷积操作依赖矩阵乘法，斯特拉森算法可优化计算效率。然而，由于额外的加法运算和复杂逻辑，其常数开销较高，对于小矩阵（n
研究表明，斯特拉森算法在矩阵规模 n ≈ 64 或更大时开始优于传统方法，现代硬件上这一阈值可能达到数百。随着矩阵规模增加，其优势愈发明显，因此被广泛集成到计算库（如 BLAS）中。
深入解析AlphaEvolve：AI驱动的算法与数学革命
谷歌DeepMind于2025年5月宣布推出AlphaEvolve，这款由大型语言模型驱动的进化编码代理在算法发现和优化领域取得了显著突破。它结合了谷歌Gemini模型的创造力与自动评估器，通过进化框架生成并优化复杂算法，展现了超越人类专家的能力。
AlphaEvolve的工作原理
AlphaEvolve利用谷歌的Gemini模型家族，包括快速生成广泛思路的Gemini Flash和提供深度推理的Gemini Pro。这些模型协同工作，生成以代码形式实现的算法解决方案。自动评估器对生成的代码进行验证、运行和评分，选择最优方案并通过进化循环不断改进。这种方法使AlphaEvolve能够演化整个代码库，而非仅限于单一函数，显著提升了算法开发的复杂度和效率。
矩阵乘法的突破
矩阵乘法是计算机科学和AI训练的核心运算。1969年，沃尔克·斯特拉森提出了一种复杂度为O(n^{2.807})的算法，通过将2x2矩阵乘法从8次乘法减少到7次，打破了传统O(n³)的障碍。AlphaEvolve进一步推进了这一领域，发现了一种仅需48次标量乘法完成4x4复值矩阵乘法的算法，超越了斯特拉森的记录。这一发现改进了此前AlphaTensor的工作（专注于二进制运算优化），为AI训练、科学计算和数据处理提供了更高效的解决方案。
AlphaEvolve被应用于数学分析、几何学、组合学和数论等领域的50多个未解决问题，展现了其通用性。在75%的案例中，它重新发现了最先进的解决方案；在20%的案例中，它改进了现有最佳解。其中，接吻数问题是一个突出例子。这一几何问题探讨在给定维度空间中，能与一个单位球相切而不重叠的最大球体数量，困扰数学家300多年。AlphaEvolve在11维空间中发现了一个由593个外球体组成的结构，建立了新的下界，推进了这一领域的理论研究。
而 Google 也使用代码证明了AlphaEvolve提到的矩阵乘法优化算法，其结果是符合预期的
其代码如下：
import numpy as npdef verify_tensor_decomposition(decomposition: tuple[np.ndarray, np.ndarray, np.ndarray], n: int, m: int, p: int, rank: int): factor_matrix_1, factor_matrix_2, factor_matrix_3 = decomposition assert factor_matrix_1.shape == (n * m, rank), f'Expected shape of factor matrix 1 is {(n * m, rank)}. Actual shape is {factor_matrix_1.shape}.' assert factor_matrix_2.shape == (m * p, rank), f'Expected shape of factor matrix 1 is {(m * p, rank)}. Actual shape is {factor_matrix_2.shape}.' assert factor_matrix_3.shape == (p * n, rank), f'Expected shape of factor matrix 1 is {(p * n, rank)}. Actual shape is {factor_matrix_3.shape}.' matmul_tensor = np.zeros((n * m, m * p, p * n), dtype=np.int32) for i in range(n): for j in range(m): for k in range(p): matmul_tensor[i * m + j][j * p + k][k * n + i] = 1 constructed_tensor = np.einsum('il,jl,kl -> ijk', *decomposition) assert np.array_equal(constructed_tensor, matmul_tensor), f'Tensor constructed by decomposition does not match the matrix multiplication tensor : {constructed_tensor}.' print(f'Verified a decomposition of rank {rank} for matrix multiplication tensor .') np.set_printoptions(linewidth=100) print('This decomposition uses these factor entries:\n', np.array2string(np.unique(np.vstack((factor_matrix_1, factor_matrix_2, factor_matrix_3))), separator=', '))n = 4m = 4p = 4rank = 48verify_tensor_decomposition(decomposition_444, m, n, p, rank)deepmind.google/discover/blog来源：人工智能研究所
