摘要：先读一下题目，三角形ABC是一个直角三角形，BC的长度等于2。接着以AB为边做等边三角形ABD，再以AC为边做等边三角形ACE，P点是第一的中点，然后求BP的最大值。

八下期末几何压轴：△ABD和△ACE为等边三角形，P为DE中点，则BP的最大值为难倒95%的学生！

今天这个道题如果把它放在八下期末考试几何压轴题的位置，全军覆没我不敢说，但只怕是95%的同学都下不了笔。

先读一下题目，三角形ABC是一个直角三角形，BC的长度等于2。接着以AB为边做等边三角形ABD，再以AC为边做等边三角形ACE，P点是第一的中点，然后求BP的最大值。

这道题猛一看好像确实有点儿无从下手，但是我相信湖北的同学应该会觉得很眼熟，为什么？因为某江作业上有一道题跟它是非常像的，这道题是分别以△ABC的三条边为边作了三个等边三角形，然后证明上面这个四边形是平行四边形。其实仔细对比一下就会发现这两道题是一样的，大家可以暂停看一下。如果你会做这道题，那么今天这道题也就不难了。

回到题目上来，根据刚才那道题的提示，就直接以BC为边向上作一个等边三角形，然后再连接DF和EF。可以看到△ABD是等边三角形，而△CBF也是等边三角形，并且它们俩还共用一个顶点，这就是常说的双等边手拉手模型了，所以是很容易证明△DBF和△ABC全等的。

之后就得到了DF=AC，也就等于A1了。同理也可以证明△EFC和△ABC全等，于是又得到了EF=AB，也就等于AD了。在四边形DAEF中，DF=AE，EF=AD，所以可以用对边分别对应相等来判定它是一个平行四边形。

而因为P点是对角线DE的中点，如果连接AF，很明显AF是肯定经过P点的，并且P点也是AF的中点，这个应该好理解。弹幕回应我一下。

·接着往下看，因为△ABC始终是一个Rt三角形，而它斜边BC的长度也给我们了，我相信大家是能想到斜边中线的，所以就截取BC的中点O，然后再连接0A，0A=1/2BC=1，是一个定值。

·接着又因为△FBC是一个等边三角形，所以再连接FO，由三线合一可知，F0是垂直BC的，并且FO的长度也是可求的，它是等于√3的。

·接下来再截取OF的中点G，并连接PG，因为P点是AF的中点，所以由中位线定理可知，PG=1/20A=1/2，它是一个定值。

·然后因为0G= 3/20B=1，所以BG= 7/2。题目让我们求BP的最大值，不难看出，BP是小于等于BG+PG的，而BG+PG=2/根7+1，所以BP的最大值就是2/根7+1了。

至于能不能共线的问题，大家看一下动态演示就知道了。

来源：跟老李学初中数学