摘要：应用数学建立在一个令人惊讶的广泛基础之上，涵盖多个基本领域，有些为人熟知，有些则不那么显而易见。让我们逐一探讨应用数学的各个分支。
应用数学建立在一个令人惊讶的广泛基础之上，涵盖多个基本领域，有些为人熟知，有些则不那么显而易见。让我们逐一探讨应用数学的各个分支。
复分析研究复数及其函数行为，在多个领域有广泛应用。其中一个有趣的工具是保角映射，它可以将一种形状变换为另一种形状，同时保持角度不变。例如，在研究围绕奇形怪状物体的热流或流体流动时，可以通过保角映射将复杂区域变换为圆形，在圆形区域内解决问题，再将解变换回原始区域。
常微分方程
常微分方程（简称ODEs）描述量随着单一变量（通常是时间）的变化规律。它们用于研究可解析求解的线性系统，以及如混沌等非线性系统。从行星运动到人口增长，几乎任何建模问题都离不开常微分方程。
偏微分方程
偏微分方程（简称PDEs）涉及多个变量的函数及其偏导数，是建模分布式系统（如热流、声波、流体动力学和电磁学）的核心工具。在应用数学中，偏微分方程可分为椭圆型、抛物型和双曲型，每种类型有其独特的行为和求解技术。
积分方程
积分方程是指未知函数出现在积分符号下的方程。求解技术包括将其分类为弗雷德霍姆型或沃尔泰拉型，并利用核的性质。例如，第二类沃尔泰拉积分方程中，未知函数同时出现在积分内外，用于建模具有“记忆”的系统，如人口当前增长不仅依赖于当前规模，还依赖于过去一段时间的增长情况。
摄动理论与渐进分析
摄动理论处理依赖于小参数（常记为ε）的问题，这些问题通常难以或无法求得精确解。其思路是从一个可精确求解的简单问题出发，逐步构建修正项，每项对应一个高阶修正。若ε很小，高阶项的影响会逐渐减弱。我们使用大O记号来表示剩余误差的大小。一个经典例子是流体力学中的边界层问题，这类问题属于奇异摄动微分方程。
变分法
变分法研究如何找到使某些量（通常以积分形式表达）最小化或最大化的函数。在应用数学中，这涉及到欧拉-拉格朗日方程，用于求解最优解。例如，欧拉-拉格朗日方程解释了光为何遵循最短时间路径，而非仅仅是最短距离。
特殊函数
特殊函数在应用数学中至关重要，它们是描述振动、波传播和热流等物理现象的微分方程的解。常见的特殊函数包括贝塞尔函数、勒让德多项式和超几何函数。例如，贝塞尔函数自然出现在鼓面振动建模中，捕捉了几何形状和边界条件的特性。
谱理论
谱理论研究线性算子的分解，基于其特征值和特征函数。它将矩阵对角化的概念推广到无限维情形，例如微分和积分算子。谱理论在稳定性分析、共振、波传播和信号处理等领域有广泛应用。
逼近理论
逼近理论研究如何用简单函数（如多项式、样条或有理函数）逼近复杂函数，并评估逼近的精度。它回答了如何在数据或计算资源有限的情况下最佳表示复杂函数的问题，常用方法包括插值、最小二乘拟合和小波分析。
数值线性代数与矩阵分析
这一领域专注于开发和理解解决矩阵问题的算法，特别是用于计算机算法。数值线性代数与矩阵分析是计算科学的基础，应用于从物理系统模拟到数据分析的几乎所有领域。
连续优化
连续优化研究在约束条件下寻找函数的最小值或最大值，其中变量连续变化。它在线性规划和非线性规划中至关重要。线性规划处理线性目标和约束的问题，而非线性规划涉及更一般、通常更复杂的情况。
常微分方程的数值解
这一领域研究计算常微分方程近似解的算法，因为这些方程往往无法解析求解。例如，欧拉方法通过逐步估计，建模人口随时间的变化，即使系统表现出混沌行为或跨越多个时间尺度，也能提供可靠结果。
偏微分方程的数值解
与前述领域类似，这一领域专注于偏微分方程近似解的计算方法，因为它们通常无法精确求解。一种常用方法是有限元法，将复杂区域分解为小块，拼接局部解。这种方法特别适用于几何形状复杂的场景，如建模不规则桥梁的应力。
随机分析的应用
随机分析研究随时间变化的概率行为，通过开发模拟方法，结合概率论与分析，研究随机性如何塑造系统演化。例如，股票价格的波动不遵循平滑曲线，而是随机起伏，这种行为可通过随机微分方程建模。
逆问题
逆问题涉及从观测效应推断隐藏原因。例如，从断层扫描数据重建图像，或从表面测量推断材料性质。数学上，逆问题需要从模型输出推断未知输入。
计算科学
计算科学研究利用计算机解决复杂物理、生物或工程系统的数学模型，方法直截了当但功能强大。
数据挖掘与分析
数据挖掘与分析专注于从大型或复杂数据集中提取模式和其他有用信息，涉及统计技术、机器学习算法和数学建模，用于解释、分类或预测数据行为。
网络分析
网络分析研究由节点和边构成的互联系统图。中心性是其中一个重要概念，用于确定哪些节点最为关键。例如，特征向量中心性不仅考虑连接数量，还赋予与高连接节点相连的节点更高权重。这正是谷歌早期PageRank算法的原理，通过链接的质量而非仅靠流行度对网站进行排名。
经典力学
经典力学研究遵循牛顿定律的运动和力系统，覆盖从行星运动到机器人学的广泛主题。一个有趣的方法是拉格朗日方法，例如建模摆动单摆时，无需累加力矩，只需写下能量，拉格朗日方程即可给出运动方程。
动态系统
动态系统研究状态如何在确定性规则下随时间演化，特别关注显式解不可得时的行为，涉及时间约束的复杂动态。
分岔理论
分岔理论研究当参数越过临界值时，系统行为如何突然改变。分岔指输入的小变化导致结构剧变，如从稳定到振荡或混沌。一个经典例子是压缩梁，当压力超过某值时，梁从直立突然弯曲至左右两侧，形成两个新的稳定状态，称为折叉分岔。
应用数学中的对称性
这一领域研究变换（如旋转、反射或平移）不变性如何影响数学模型及其解。例如，泰勒-库埃特装置中的初始对称圆形流动变得不稳定，形成涡旋模式，这是对称破缺的经典案例。
量子力学
量子力学建模原子和亚原子尺度的物理系统，经典力学在此失效。它用波函数和算子取代确定性轨迹，以薛定谔方程为核心。
随机矩阵理论
随机矩阵理论研究矩阵元素随机选取时的特征值和特征向量的统计性质。最初为核物理开发，用于解释重原子核能量级的复杂统计行为，通过随机矩阵的特征值建模系统的不确定性。
动力学理论
动力学理论描述大量粒子系统（如气体或等离子体）的统计行为，也可应用于交通流研究。它通过玻尔兹曼方程，将微观粒子运动与宏观量（如压力和温度）联系起来。
连续介质力学
连续介质力学将材料视为连续介质，忽略其原子结构，描述变形、流动和应力等现象。其子分支固体力学研究固体材料如何响应外力。
模式形成
模式形成研究复杂有序结构如何在空间扩展系统中自发出现，探索自然界和实验中出现的条纹、螺旋、斑点和波浪的形成机制。
流体动力学
流体动力学研究液体和气体在外力作用下的运动，纳维-斯托克斯方程是其核心，描述速度和压力的演化，基于牛顿定律。流体动力学应用于天气、洋流、血液流动和空气动力学等领域。
磁流体力学
磁流体力学（MHD）是流体动力学的子领域，研究导电流体（如等离子体、液态金属和盐水）与磁场的相互作用。
地球系统动力学
这一领域建模和研究地球系统各组成部分（如大气、海洋、陆地、冰层和生物圈）在多种时空尺度上的相互作用。
有效介质理论
有效介质理论研究多相材料（如多孔材料）的宏观行为，通过平均其微观结构，用简单材料替代复杂微结构材料，同时保持大尺度行为一致。
软物质
软物质包括易被外力变形的材料，如液体、聚合物、泡沫、凝胶和生物组织，表现出粘弹性、自组织或相变等复杂行为。
控制理论
控制理论研究通过输入影响动态系统行为，以实现稳定性或优化等目标。
信号处理
信号处理分析、转换和解释随时间或空间变化的信号（如音频、图像或传感器数据）。例如，黑洞图像的构建需从多个探测器收集的噪声、不完整数据中，耗时近两年整理和转换。
信息论研究信息的量化、存储和传输，涵盖信息运作和传输的方方面面。
应用组合数学与图论
应用组合数学与图论研究离散结构和关系，如排列、选择和网络。其子分支组合优化寻找有限离散可能性中的最优解，聚焦于最短路径和最优调度等问题。
代数几何
代数几何虽属纯数学，但在应用中通过工具如格罗布纳基底，系统化简化多项式方程组，应用于机器人学和运动学，计算可能的位置或运动。
广义相对论与宇宙学
广义相对论与宇宙学通过爱因斯坦场方程研究宇宙的大尺度结构和动态，关联时空几何与物质能量，预测黑洞、引力波和宇宙膨胀等现象。
来源：老胡科学
