摘要：原创 朱慧坚、丁玖 返朴这里我们介绍一种基于分部积分法的处理方法，不仅能获得连续自然数幂次的一般求和公式，还能附带证明一个有趣的猜想。说不定读完本文后，聪明的你也会灵感迸发，开辟一个与众不同的新解法。撰文 | 朱慧坚（玉林师范学院数学与统计学院副教授）、丁玖（
原创 朱慧坚、丁玖 返朴这里我们介绍一种基于分部积分法的处理方法，不仅能获得连续自然数幂次的一般求和公式，还能附带证明一个有趣的猜想。说不定读完本文后，聪明的你也会灵感迸发，开辟一个与众不同的新解法。撰文 | 朱慧坚（玉林师范学院数学与统计学院副教授）、丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）读者朋友看到本文标题，或许会不以为意地发笑一声：这还不简单，不就是等等吗？您甚至可能还要说下去：上面第一个公式连小学一年级的学生都会求；“数学王子”高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）在年幼时就巧妙地俘获了第二个等式；至少在我们读大学一年级期间，学到函数y=x2在区间[0, 1]上的定积分时，老师在演示用某种特殊的黎曼和的极限计算值的过程中，就告诉过听课的学生上述第三个公式。这个方法是由古希腊大数学家阿基米德（Archimedes，c.287 – c. 212 BC）首创的。对，您说的大致不错，如果再去查一查微积分教科书，或许还可以继续看到公式等等，等等。但是，如果有人请教您1100+2100+⋯+n100等于什么，您能马上告诉他相应的公式，或指导他如何下手吗？更进一步地，在仔细察看了上面的六个代数恒等式后，您可能会突然发现，平方和表达式n(n+1)(2n+1)/6恰好是四次方和表达式的一个因子，立方和[n(n+1)]2/4恰好是五次方和的一个因子。这时，您肯定在纳闷这仅仅是巧合，还是说对六次和七次幂，甚至更高次幂的求和公式也都是如此。好吧，我们再瞧一瞧接下来的三个公式：
这就给出了1k+2k+⋯+nk对任何正整数k都成立的最简洁表达式（10）。读者可见，微积分之美就浓缩在表达自然数幂和这最后的定积分中！（7）-（10）中的任何一个式子都回答了本文标题的提问，它给出了自然数从1到n的k次幂求和的一个显式公式，这个表达式是n的k+1次多项式，其系数中的因子包含了伯努利数和组合数。数学推导上我们休息片刻，轻松愉快地回顾一下这个公式出现之前的千年数学史。在两千年前的古希腊，毕达哥拉斯（Pythagoras，c. 572–c. 497 BC）、阿基米德等人就知道怎样求出前n个自然数的和、平方和甚至立方和。在东方，一千五百年前的印度学者阿耶波多（Aryabhata，476–550）和一千年前的波斯数学家卡拉吉（Al-Karaji，c. 953–c. 1029）及伊斯兰黄金时代的学者伊本·海瑟姆（Ibn al-Haytham，c. 965–c. 1040）等也考虑过这些和式。中国古代数学家对此也有卓越的贡献，如南宋的杨辉（c.1238-c. 1298）和元代的朱世杰（1249-1314）等都深入研究过高阶等差级数，这与求解自然数幂和有异曲同工之妙。六十年前人民教育出版社出版的华罗庚教授《从杨辉三角谈起》这本小书，向中学生数学爱好者提供了对高阶等差级数用差分概念求和的思想，让少年时代的本文作者读得兴奋不已。系统研究自然数幂次求和问题的首批人马迟至十六、十七世纪才降生，他们包括英国的哈里奥特（Thomas Harriot，1560-1621）、德国的福尔哈伯（JohannFaulhaber，1580–1635）以及法国的费马（Pierre de Fermat，1601–1665）和帕斯卡（Blaise Pascal，1623–1662）。哈里奥特是第一个用符号写出求和公式的人，然而他的公式止步于k=4。福尔哈伯不厌其烦地求得了直到k=17的公式，发表在他于1631年出版的著作Academia Algebrae中，不过他并没有获得一般的求和公式。尽管如此，后人依然有时将（8）式称为福尔哈伯公式，以表彰他对此付出的辛勤劳动。伯努利在历史上首次意识到数列 B0,B1,B2，……的重要性，因为该序列为所有幂和提供了统一的公式。他在发现和的一般模式后百般欣喜，写下评述：“借助这张表，我花了不到半刻钟就找到了答案，将前1000个数字的10次方相加，得到的和是 91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500。”该成果于1713年被收进他身后出版的概率论著作Ars Conjectandi中，法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre，1667-1754）则提议将求和公式（8）中的那些常数B0,B1,B2，……命名为伯努利数。和式1k+2k+⋯+nk中的因子现在，我们似乎可以解答本文开头的疑问了：为何当k为3, 5, 7等奇数时，1k+2k+⋯+nk有因子，而当k为4, 6, 8等偶数时，1k+2k+⋯+nk有因子？我们能对所有的奇数k和偶数k证明出同样的结论吗？答案是肯定的，事实上，这就是用伯努利多项式来求出连续自然数同次幂和公式的一个有意义的副产品。为了下面的推导方便起见，我们将和数1k+2k+⋯+nk记为Sk。当k=2m时，由于B2m+1=0，公式（9）给出而当k=2m+1时，则有从而对偶数幂的情形，比值S2m/S2可以表达为由于β3(x)=x(x-1)(x-1/2)，并且β2m+1(0)=β2m+1(1)=0，故存在多项式q(x)使得若我们能够证明1/2同时也是多项式β2m+1(x)的一个零点，则S2=n(n+1)(2n+1)/6就是S2m的一个因子。的确如此，这是由β2m+1(x)是x-1/2的奇函数这一事实所保证的。所以β2m+1(1/2)=0，因此关于前n个自然数偶数幂和式的因子猜想是正确的，即对奇数幂的情形，我们有因为β4(x)-B4=x2(x-1)2，我们只需要证明多项式β2m+2(x)-B2m+2也有两个根x=0和x=1，且重数至少为2。证明如下：首先由伯努利数的定义，再从β2m+2(0)=β2m+2(1)得最后，通过函数微分恒等式和数字等式β2m+1(0)=β2m+1(1)=0，我们发现这就证明了S3是S2m+1的一个因子，因此存在多项式h(x)使得最后，作为特例，取m=1，则h(x)≡1，引出人们常常赞叹其美的一个代数恒等式： 来源：广大教育
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