摘要：图 7.512 512 二维方格上的键渗簇，p分别为 (a) 0.3、(b) 0.5 和 (c) 0.55。不同大小的簇具有不同的颜色。较大簇的颜色取决于其大小，从蓝色（小簇）到红色（无限簇）不等。渗流阈值为 p(c)= 0.5。
渗流最初用于描述流体在多孔材料中的运动和过滤[100]。Flory 和 Stockmayer 在聚合和溶胶-凝胶转变中也考虑了渗流的观点 [101]。
图 7.512 512 二维方格上的键渗簇，p分别为 (a) 0.3、(b) 0.5 和 (c) 0.55。不同大小的簇具有不同的颜色。较大簇的颜色取决于其大小，从蓝色（小簇）到红色（无限簇）不等。渗流阈值为 p(c)= 0.5。
近年来，它已成为空间随机过程理论的基石，广泛应用于统计物理[102-105]、相变[106,107]、材料[108,109]、流行病学[110-113-121]、网络[30,38,40,114]、胶体[122,124,125,126,123]、半导体、交通、湍流以及地球系统[33,65,67,127-130]等领域的各种问题。在研究复杂系统的结构、稳健性和功能方面，渗流理论也发挥着举足轻重的作用 [131]。
众所周知，在晶格和其他有序网络中 [106,107,132]，当维度大于 1 时，就会发生渗滤相变。渗滤过程是一个简单的模型，其中节点（位点）或边（键）被占用的概率为 $$p$$，未被占用的概率为 $$q=p-1$$。以规则晶格为例（见图 2a）。如果存在一条从一侧到另一侧的平行路径，且该路径只经过被占据的键和位点，那么该系统就被重新划分为渗滤系统。当存在这样一条路径时，跨越晶格的位点组分或位点簇被称为跨越簇或无限渗流簇。在低浓度 $$p$$ 下，位点要么是孤立的，要么是由最近邻的位点组成的小簇。如果两个位点通过一条最近邻位点路径相连，它们就属于同一个簇。另一方面，当 $$p$$ 值较大时，至少有一条路径存在于相对的两侧之间（见图 7）。渗滤相变发生在某个临界密度 p(c)，该密度取决于晶格的类型和维度。
对于许多复杂网络来说，边的概念并不存在。然而，渗滤理论的思想和工具仍然可以应用[51]。主要区别在于，渗滤的条件不再是存在跨簇，而是拥有一个包含 $$O(N)$$ 个节点的簇。如果存在这样的分量，我们称之为巨型分量，这在第 2.1 节中已经讨论过。事实上，巨型分量存在的条件也适用于网格网络，因此它可以作为比跨度属性更通用的条件。
渗流有两种类型，一种是位点渗流，即所有位点都有概率 $$p$$ 被占用，$$1-p$$ 。而在键渗流中，键被占用的概率为 $$p$$ ，超过 $$p(c)$$ 时，它们会形成一个巨大的连通点。在这篇综述中，我们将重点讨论渗流临界现象，即接近渗流阈值 $$p(c)$$ 时，首次形成巨型分量或系统坍缩[133]。这些方面被称为临界现象，描述临界现象的基本理论是相变的缩放理论。
相变的概念通常用于描述热力学物理系统中物质的固态、液态和气态之间的转变，即有序相（如固态）在某个临界温度 $$T_c$$ 时转变为无序相（如液态）[26]。相变的另一个经典例子是磁性相变，用伊辛模型解释就是在低温、无任何外场的情况下出现自发磁化$$m>0$$ 。当温度升高时，自发磁化会减小，并在 $$T_c$$ 时消失。
实际上，渗滤是一种简单的几何相变，渗滤阈值 p(c)可以区分有限簇的相位（无序相）和无限簇的相位（有序相）。位点或键的占据概率 p 与热相变中的温度起着相同的作用。在统计物理学中，它们通常被称为控制参数 。
渗流阶数参数 $$P_{\infty}$$定义为无限簇的相对大小，即属于无限簇的位点分数。对于$$p p_c$$，$$P_{\infty}$$类似于$$T_c$$以下的磁化，在 $$p_c$$附近表现为幂律
$$P_{\infty} \sim (p - p_c)^{\beta}.$$
图8. 晶格和网络系统中的渗流相变。渗流序参量P∞作为占据概率p的函数，对应于(a) pc = 0.5的二维键渗流，(b) pc ≈ 0.593的二维点渗流，以及(c) pc = 0.25的ER网络。这里ER网络的平均度⟨k⟩ = 4。
它描述了渗滤系统中的有序性，因此被称为序参数。我们在图 8 中分别展示了二维方格模型中键渗流和位点渗流以及 ER 网络中位点渗流的 P 随 p 变化的情况。值得注意的是，我们在图 8 中采用 p 作为控制参数，这使得 P 成为单调递增函数。当 p 逐渐减小（从 1 开始）时，可视为节点或链路的移除（或攻击），系统在移除 1 的一部分后崩溃p(c)。因此，1-p(c)可以衡量 系统的弹性，即系统离崩溃有多近。
临界附近的有限分量分布遵循标度形式[106,107]，即距离坍缩有多近。
渗滤的一个有趣特性是普遍性，这是相变临界点或临近相变临界点行为的基本原则。因此，临界指数只取决于系统的维度，与系统的微观相互作用细节无关。如上一节所述，系统的行为由一组临界指数来表征。如果两个系统的临界指数值相同，则它们属于同一普遍性类别。普遍性是相变的一般特征。相变也是以控制有限尺寸行为的缩放函数为特征[140]。有限尺寸缩放概念为研究渗滤转变提供了一个通用工具。
图9. 爆炸渗流模型示意图。(A) 在每一步中，随机选择两个顶点并通过一条边连接。(B) 在乘积规则（PR）过程的每个时间步，两条边e1和e2竞争加入。被选中的边是使它合并的组件大小乘积最小的边。这里e1被接受，e2被拒绝。(C) 在大小为N = 512,000的系统上，ER、Bohman Frieze（BF）和PR过程的典型演化。来源：图取自参考文献[116]。
通常，在随机占据或破坏过程中，晶格或网络会发生连续的渗滤相变 [81]。近年来，非随机过程而是竞争性链路添加过程的爆炸性、混合性和真正不连续的渗滤引起了广泛关注 [116,141-152]。爆炸性渗滤模型的描述如图 9 所示。
没有在临界相变点进行有限大小缩放分析，而是考虑了渗流特性的有限大小缩放分析和阶次参数中最大间隙大小的临界缩放。例如，Fan 等人[153] 发展了一种新的普遍间隙缩放理论，并提出了六个间隙临界指数来描述渗滤相变的普遍性。通过使用有限大小的缩放函数，这一理论框架可应用于各种晶格和网络模型中的连续 和不连续渗滤。
来源：集智俱乐部一点号