摘要：23.(10分)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点P为△ABC内一点。
本题很凝练，就一句话。
小心这类题！往往不容易形成思路。
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23.(10分)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点P为△ABC内一点。
(1)如图1，CP＝CQ，∠QCP＝120°，连接BP，AQ，求证：BP＝AQ；
(2)如图2，D为AB的中点，若PC＝2，PA＝5，∠CPD＝150°，求线段PD的长(本文给出了3种解法)；
(3)如图3，在(2)的条件下，若点M为平面内一点，PM＝PC，连接BM，将线段BM绕点B顺时针旋转120°至BN，连接PN，请直接写出PN的最大值(要求具体过程)。
第一问送分。只需证△ACQ≌△BCP(SAS)即可。
第二问，可以通过辅助线转化，也可以作出对称点，还可以用简洁明快的余弦定理。
第二问的解法一：作对称点，然后用高中的余弦定理。
由已知，△ACD是含有30°角(∠A＝30°，CD⊥AD)的直角三角形。
某三角形内有一点P，凡牵涉到点P到三角形各顶点的距离，通常思路是，作对称点。
如下图，作出点P关于△ACD三边的对称点P1、P2、P3，然后再△P1P2P3中求解P2P32和P1P3的长度各是多少？∠P132等于多少度？
这需充分利用已知。∠CAD＝30°，CD⊥AD；PC＝2，PA＝5，∠CPD＝150°。
再看P1P3的长度：连接CP1、CP3，则∠P1CP3＝2∠ACD＝120°，CP1＝CP3＝CP＝2，则P1P3＝2。再看∠P1P3P2度数：∠CP3D＝∠CPD＝150°，∠CP3P1＝∠CP1P3＝30°，故∠P1P3P2＝120°。在△P1P3P2中，P1P2＝5，P1P3＝2，P2P3＝2PD，∠P1P3P2＝120°，由余弦定理，1P22＝P1P32＋P2P32－2×P1P3×P2P3×cos∠P1P3P2，
即4PD＋4PD－13＝0，易解得PD＝。
解法一当中的余弦定理，对初中同学确实超纲。
下面的解法二，纯初中。然而，初三同学，您能想到这样求解吗？
第二问的解法二：辅助线构造直角三角形，利用相似求解。
由已知，CD⊥AD，∠CPD＝150°，故AC＝2CD。
以CP为一边作Rt△PCE，使∠CPE＝90°，∠PCE＝60°，则有∠CEP＝30°，CE＝2CP＝4，EP＝CP＝2，∠ACE＝∠DCP。
易证得△ACE∽△DCP，故∠AEC＝∠DPC＝150°，AE:DP＝AC:DC＝2，求出了AE，就有了PD。
求AE，有两个思路。
思路一：直接在△AEP中用余弦定理。
在△AEP中，EP＝2，PA＝5，∠AEP＝∠AEC－∠CEP＝150°－30°＝120°。
22－2×AE×EP×cos∠AEP，即25＝AE＋12＋2AE，则AE2＋2AE－13＝0，易解得AE＝4－，故PD＝。思路二：继续作辅助线构造直角三角形求AE。
过点P作PF⊥AE交AE的延长线于点F，
∵∠AEP＝∠AEC－∠CEP＝150°－30°＝120°，
∴∠FEP＝60°，则EF＝EP×cos∠FEP＝，FP＝EP×sin∠∠FEP＝3，
注：如果熟悉“含30°角的直角三角形”的边边关系更快。
在Rt△AFP中，∠F＝90°，PA＝5，FP＝3，故AF＝4，
则AE＝AF－EF＝4－，故PD＝AE＝。
第二问的解法三：初中四点共圆配合高中余弦定理，无需花里胡哨的辅助线。
由已知，∠CPD＋∠B＝150°＋30°＝180°，
故C、P、D、B四点共圆且BC为直径，
故∠ADP＝∠BCP，而cos∠BCP＝PC:CB＝＝，
由已知，△ACD和△BCD均为含30°角的直角三角形，设CD＝m，CB＝2m，则AD＝BD＝m，
在△CPD中，由余弦定理得CD2＝PC2＋PD2－2×PC×PD×cos∠CPD，故PD2＋2PD＋4－m2＝0，
即3PD2＋6PD＋12－3m2＝0-------①
在△APD中，由余弦定理得AP222－2×AD×PD×cos∠ADP，即5222－2PD，2－2PD＋3m2①＋②得4PD2第三问概括如下，您无需再翻到本文开头：
在等腰△ABC中，∠ACB＝120°，D为AB的中点，点P为△ABC内一点，PC＝2，PA＝5，∠CPD＝150°，点M为平面内一点，PM＝PC，连接BM，将线段BM绕点B顺时针旋转120°至BN，连接PN，求PN的最大值。
点P为定点，N为动点。点N是如何动的？有无轨迹可循？
题干说“将线段BM绕点B顺时针旋转120°至BN”，
将计就计，我们也将线段BP绕点B顺时针旋转120°至BG，
连接NG，易证得，△BGN≌△BPM(SAS)，故GN＝PM＝PC＝2，
注：这里的辅助线构造全等，是从题干旋转120°打开思路的。
点G为定点！故点N在以定点G为圆心、以2为半径的圆上。
延长PG交⊙G于点N'，则PN'即为PN的最大值。
∵PN'＝PG＋2，PG＝PB，含120°的等腰三角形的底边是腰长的倍，
∴PN'＝PB＋2，往下聚精会神擒拿PB。
CP和PB是否垂直？
由已知，∠CPD＝150°，∠CBD＝30°，即∠CPD＋∠CBD＝180°，
故C、P、D、B四点共圆，
而CD⊥DB、∠CDB＝90°，
故BC为直径，则∠BPC＝90°。
在线段PB上取一点H，使∠PCH＝60°，则PH＝PC×tan∠PCH＝2，
在Rt△PCH中，PC:HC＝1:2，
在Rt△CDB中，DC:BC＝1:2，
即PC:HC＝DC:BC，又由∠PCH＝60°＝∠DCB知∠BCH＝∠DCP，
故△BCH∽△DCP，则BH＝2DP＝4－，
故PB＝PH＋BH＝2＋(4－)＝4＋，
故PN'＝PB＋2＝(4＋)＋2＝4＋5，
即PN的最大值为4＋5。
我总以为，我写的原创图文是又长又臭。
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作者简介
中共党员，高中教务主任，常年兼任高中数学、物理、化学等科目。中考数学命题组成员。
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来源：好学教育
