摘要：阿诺德·索末菲尔德（Arnold Sommerfeld）被认为是伟大的导师，他是众多杰出物理学家的老师，包括沃尔夫冈·泡利、维尔纳·海森堡、汉斯·贝特和彼得·德拜，他们都是诺贝尔奖得主。此外，他还指导了鲁道夫·皮尔斯、瓦尔特·海特勒、威廉·伦特等一长串著名科学
阿诺德·索末菲尔德（Arnold Sommerfeld）被认为是伟大的导师，他是众多杰出物理学家的老师，包括沃尔夫冈·泡利、维尔纳·海森堡、汉斯·贝特和彼得·德拜，他们都是诺贝尔奖得主。此外，他还指导了鲁道夫·皮尔斯、瓦尔特·海特勒、威廉·伦特等一长串著名科学家。索末菲尔德在德国的地位相当于英国的J.J.汤姆逊，汤姆逊是伟大的实验家，而索末菲尔德则是伟大的理论家。
1913年7月，在发表了他的三部曲的第一篇论文后，玻尔收到了一封来自索末菲尔德的信，索末菲尔德对他的原子模型印象深刻，就像卢瑟福一样，索末菲尔德担心量子思想与旧机械学的混合似乎起作用了，但仍未能真正理解电子在做什么。索末菲尔德对解释光谱学的观测结果深感兴趣，因此玻尔的模型吸引了他的注意，这看起来像是一条通向理解光谱线某些意外行为的有前途的路径。
1897年，荷兰物理学家彼得·塞曼发现磁场可以影响光谱线，他观察到某些光谱线的宽度随磁场强度的增加而增加。更好的仪器显示，在磁场的存在下，某些光谱线实际上会分裂成多条，这种现象被称为塞曼效应。同样地，1913年末，德国的约翰内斯·斯塔克和意大利的安东尼奥·卢罗独立发现了在使用外部电场时发生的类似效应。光谱线的这种分裂现象令人费解，似乎一条光谱线可以被外部电场拉开成多条。大家都在想，这些新线条是从哪里来的？它们是由外部场创造的吗？还是这些线条本来就是叠加在一起的，外部场只是将它们分开了？斯塔克甚至认为氢原子可能有多个电子。
另一个意外的光谱线分裂现象是由美国科学家阿尔伯特·迈克尔逊和爱德华·莫利在1887年发现的，也就是他们进行著名的迈克尔逊-莫雷实验以测量以太的那一年。他们用高精度干涉仪来仔细研究多种元素的光谱线，发现了一些非常接近的光谱线组，这些光谱线无法用自巴耳末以来提出的任何经验公式解释。光谱线的这种分裂现象被称为精细结构。
在同一年有两个迈克尔逊-莫雷实验，甚至使用了同样的仪器，而且两者都对现代物理的发展产生了重大影响。第一个实验推动了狭义相对论的发展，而第二个则促进了原子物理学的发展。对于索末菲尔德来说，所有这些意外出现的光谱线似乎表明某种基本物理现象正在原子尺度上发生，这就是为什么玻尔的原子模型如此具有吸引力的原因。此外，在1914年最后的平静日子里，玻尔的模型得到了极大的推动，解决了恒星光谱的特殊问题，并解释了弗兰克-赫兹实验。
弗兰克-赫兹实验是1914年由德国物理学家詹姆斯·弗兰克（James Franck）和古斯塔夫·赫兹（Gustav Hertz）进行的一项重要实验，该实验验证了玻尔原子模型中电子只能占据特定离散能级的假设，从而为量子理论提供了重要的实验支持。
1914年夏天，索末菲尔德写信给保罗·朗之万，他是德布罗意兄弟的博士导师。索末菲尔德在信中表示，玻尔的模型似乎有很多真理，但他相信该模型必须从根本上被重新解释。索末菲尔德设想氢原子中有一个单一的电子，但在每个轨道中隐藏了多个可能的状态，这些状态只有在外部场的作用下才能显示出来。
作为一位伟大的理论家，索末菲尔德凭借这一洞见，认识到了对称性和简并性之间的深刻联系，这在经典力学中早已为人所知。“简并性”指的是两个不同状态具有相同能量的现象。就像对于某些矩阵，两个特征向量可以具有相同的特征值，这种现象也被称为简并性。索末菲尔德的想法是相同的，只不过他指的是具有相同能量的电子状态，而不是具有相同特征值的特征向量。
但为什么矩阵与轨道电子的能量有关呢？答案很快就会揭晓。这种将物理系统的描述解释为特征值问题的观察，成为了现代量子力学的基本公理之一，这是索末菲尔德没有得到足够认可的贡献之一。
回到简并能量，设想电子的能量由这样一个关系式给出，
其中n_1和n_2是标记电子状态的两个独立的量子数。请注意，状态2和1的能量相同，这是一个简并状态对。它们不同，因为它们有不同的量子数，但它们具有完全相同的能量，因此无法区分。请记住，光谱线是由能级之间的能隙产生的。电子从某个初始状态跃迁到这些两个简并状态中的任意一个时，将显示为一条相同的光谱线。索末菲尔德设想引入一个外部场可以破坏系统的一些对称性，从而消除简并性，并使这两个状态具有稍微不同的能量，从而产生额外的观测到的光谱线。索末菲尔德在当时几乎没有人了解尼尔斯·玻尔的情况下，走在了正确的道路上。
1914年7月，索末菲尔德邀请玻尔在他的慕尼黑小组中做一次讲座。除了介绍他的原子模型外，玻尔还展示了当年早些时候发表的一篇后续论文，
其中描述了一种电子围绕原子核作完美圆轨道运动的情况，然后开启一个弱电场。由于静电力作用于电子，轨道将发生形变，轨道在每个时刻都可以看作是一个以原子核为焦点的椭圆。尽管如此，玻尔并没有解决这个问题，正如他在同一篇论文中写到的，电子运动的详细研究可能非常复杂。不过，在某些假设下，玻尔表明，在这种情况下，电子可能具有不同的能级。
然而，玻尔的想法有一个问题，它只将能级分裂为两个，称为双重态，而实验却表明存在双重态和三重态。
很容易想象，索末菲尔德最初探索椭圆轨道的动机可能来自这个结果。然而，考虑到他强大的数学背景，我个人的解释是，玻尔的新结果只是证实了他关于新电子状态隐藏在相同能级下的怀疑。这种简并性可能是由对称的圆形轨道引起的，允许更一般的椭圆轨道可以打破这种对称性，从而消除简并性，并揭示不同的状态。但这只是我根据阅读他论文得出的猜测。
无论如何，索末菲尔德想要理解精细结构的分裂，而这并不需要外部场。在此期间，索末菲尔德经常与理论家和实验家进行交流，讨论想法，主要是与德国的弗里德·帕申（因其描述电极间放电电压的帕申定律和以他命名的光谱线组而闻名）以及卡尔·施瓦西（后来因找到爱因斯坦广义相对论方程的第一个精确解而出名，他的解描述了黑洞）交流。在此之前，施瓦西对光谱线理论做出了重要贡献。
1914年，索末菲尔德意识到，要扩展玻尔的原子模型以包括椭圆轨道，需要引入一个新的量子数。事实上，他引入了一个针对任何独立坐标周期系统的量子化规则，
其中动量在相应共轭变量上的积分在一个完整周期中是普朗克常数的整数倍，这可以应用于系统的每个自由度，从而完全推广了玻尔的方法。一个非常相似的想法在1915年由伦敦国王学院的威廉·威尔逊独立提出。
今天，这被称为威尔逊-索末菲尔德量子化规则。
使用这个规则，索末菲尔德确定了他的系统的两个相关自由度：角坐标φ和径向坐标r。
有了这个，量子化规则变成了这些关系式，其中n_Φ和n_r是参数化电子允许状态的两个量子数。第一个积分是显而易见的，正是玻尔的结果。
第二个积分则非常复杂，
现在我们要在整个轨道上对其进行积分。为了简化符号，我将定义这些常数A、B和C来重新写这个复杂的表达式。
求解这个积分是一个困难且非常漫长的练习。这就是为什么物理学生要花几个学期学习物理学家的数学方法课程，这些课程就像一个为期一年的训练营，专门用于解决微分方程和计算像这样的复杂积分。通过这种深奥的数学，积分结果是这样的。
复分析的老手会认出这是柯西留数定理。将A、B和C的定义重新代入，我们可以施加索末菲尔德的量子化规则，然后求解能量，得到这个结果，
回顾一下玻尔模型中电子的能量进行比较，
在这里，我只是简单地将常数的组合重命名为E_0。最终，经过如此艰难的工作，结果似乎令人失望，因为通过简单地重新定义n_Φ和n_r，就得到了玻尔的公式。
表面上看起来似乎没有发现任何新东西，但事实远不止眼前所见。通过引入椭圆轨道的额外量子数，索末菲尔德证实了他的猜测，即许多其他电子状态隐藏并以相同的光谱线形式出现。
在他的论文中，他写道，允许椭圆轨道并没有为系列增加新的光谱线，我们再次得到了离散的巴耳末系列，但却有许多生成这些光谱线的可能性。
以氢的某一特定光谱线为例，比如巴耳末系列中的蓝线，
波长为434纳米，频率为691太赫兹，对应的光谱线能量为2.86电子伏特。
在玻尔的原子模型中，这条光谱线对应于从五能级到二能级的跃迁。
而在索末菲尔德的模型中，初始能级有五个状态，量子数之和为五，最终能级有两个状态，量子数之和为二。
由于有这么多状态，我们发现有10种可能的跃迁方式可以产生相同频率的光。这意味着现在有10种不同的方式可以生成相同的光谱线。记住，产生特定光谱线的辐射频率或波长由能级之间的能隙决定。因此，所有这些10个跃迁都产生完全相同的光谱线。
这就是为什么索末菲尔德写道，他的椭圆轨道并没有为系列增加新的光谱线。他的模型与玻尔模型产生相同的结果，但证明了简并态的存在。索末菲尔德的能量和相应的频率几乎与玻尔的原子模型的能量相同，唯一的不同是现在的主量子数是两个独立量子数的总和。另一个区别是现在电子可以在奇特的轨道上运动。
使用这种扩展的电子能级版本，他在1915年12月的巴伐利亚科学院会议上展示了他对巴耳末公式的推广，解释了电子跃迁产生的光谱线的频率。显然，索末菲尔德走在了正确的道路上，所需的只是能级的额外贡献来分裂光谱线，以解释精细结构。他在研究这一问题的同时，也在研究他认为是量子物理学之外的一个干扰——即爱因斯坦的广义相对论。
就在一个月前，1915年11月，爱因斯坦终于完成了他酝酿十年的杰作——新的引力理论，它扩展了狭义相对论和牛顿的引力定律。新理论成功的一个例子是，它终于解释了水星轨道的异常行为。水星的椭圆轨道并非固定不变，爱因斯坦的方程预测了一个小的相对论修正，解释了水星这个离太阳最近的行星的椭圆运动与理论和观测之间的差异。
这个想法能否被应用于电子的椭圆轨道呢？当然，保持电子轨道的是库仑吸引力，而不是引力，但这个对水星轨道的小相对论修正可能激发了索末菲尔德考虑狭义相对论对电子轨道的影响。
索末菲尔德只用了一个月就提出了他椭圆轨道的精炼版本，他意识到在玻尔模型的基态中，电子的运动速度几乎达到了光速的1%。这可以直接从玻尔的模型中得出。基态中电子的速度由这个公式给出。
其中v_1为
r_1为
将我们找到的半径公式除以光速，得到了这个数值，对于氢原子来说，这略低于1%。请注意，这个量是无单位的，正如普朗克常数在任何量子计算中都会出现一样，这个无量纲量也会出现在所有涉及电子与光相互作用的量子计算中。如今，它被称为精细结构常数，通常用α表示，近似为1/137。
但是，这并不是该著名常数最初的引入方式，精细结构常数很快会再度出现。
索末菲尔德意识到，在他新引入的椭圆轨道中，电子在最接近原子核的点上可以移动得更快，就像行星在近日点移动得更快一样。此外，根据上述公式，电子的速度也随着原子序数的增加而增大。因此，索末菲尔德决定将电子视为遵循狭义相对论规则的粒子。对于角量子化规则，结果与玻尔模型相同；但对于径向量子化规则，情况不同。电子的能量现在由这个公式给出：
第一个项是爱因斯坦的自由电子的相对论能量，第二个项是库仑相互作用势能。接下来我们按照之前的步骤，将电子的总动量写为径向和角动量的总和，解出径向动量并在整个轨道上积分。结果看起来与我们之前的计算相似，但请注意，此次常数A、B和C要复杂得多。将它们重新代入积分结果后，我们得到了这个公式，
现在我们通过设定这个公式等于n_r乘以普朗克常数来施加径向量子化，
请注意，左侧的整体因子2π可以移到右侧，h变为ħ。这是使用威尔逊-索末菲尔德量子化规则得到的两个方程，
接下来的步骤是找到能量，结合这两个关系式，经过一些代数运算，我们得到了这个表达式，
现在，这看起来像是一个与玻尔模型相比完全不同的电子能级关系。如果你读索末菲尔德的论文，会发现他用泰勒级数而不是这个闭式形式。
他认为所有项都过于复杂，于是引入了一个他称为α的无量纲参数，作为一个微扰参数。
我知道你在想什么——这是索末菲尔德引入精细结构常数的方式吗？其实不然，他使用了一个略微不同的α定义。为了简化，我这里使用了真正的精细结构常数。索末菲尔德的版本使得一切更为复杂。按照索末菲尔德的思路，将能量以α的泰勒级数展开，
能级变成了这些项的总和，其中忽略了高于四次方的α项。第一个项只是电子的静止质量，第二个项正是我们在非相对论情况下找到的结果，而第三个项是相对论修正。
你还记得在非相对论情况下，两个状态2和1的能量相同，因为它们之间没有能量差，所以索末菲尔德得出结论，不能产生新的光谱线吗？现在，使用他的相对论公式，这两个状态有了不同的能量。这两者之间微小的能量差意味着它们在物理上可以区分。
索末菲尔德发现，椭圆轨道加上相对论修正可以分裂光谱线，这就是迈克尔逊-莫雷发现的精细结构分裂的原因。
1916年1月，索末菲尔德在巴伐利亚科学院会议上展示了他对玻尔模型的精炼扩展。这一模型后来被称为玻尔-索末菲尔德原子模型。索末菲尔德引入的α定义来自开普勒轨道中两个角动量的比值。在完成论文后，他给他的助手威廉·伦特审阅，伦特建议修改α的定义。伦特提出的定义正是我们今天所知的形式。
这个定义允许简洁的表达式，而不再是索末菲尔德使用的冗长复杂的公式。因此，是索末菲尔德引入了α，但定义它的是伦特。这就是精细结构常数如何进入物理学的。索末菲尔德采纳了助手的建议，并在最终的论文中提到了他。
伦特建议的α定义有一个好处：它能够表征基态中电子的速度，但更重要的是，它表征了电磁相互作用的强度。1/137这个值也充满了神秘色彩。
索末菲尔德请求帕申实验验证他的模型。现在他能够精确预测新的光谱线的频率。帕申尝试仔细测量氢的Hα和Hβ线，并成功拍摄了它们的双线，但图像模糊不清。
帕申回信给索末菲尔德，表示还不能接受这一结果作为确凿证据，因为效应可能是实验伪影，分裂实在太小了。分裂的大小与α的四次方成正比，使得这个分裂非常难以观察。然后，索末菲尔德意识到他的公式中包含一个他称为“放大因子”的项，Z的四次方项可以显著放大分裂。通过研究氦而不是氢，光谱线可以分裂得大16倍。他请求帕申再次尝试使用氦线。
1916年5月，索末菲尔德收到了帕申寄来的祝贺信：
我的测量现在完成了，并且与您的精细结构完全一致。如果没有您的理论，这些结果是不可能发现的。
索末菲尔德解释了他对玻尔模型的扩展，包括光谱线如何以及分裂的幅度。帕申描述了他的实验设置，以及光谱线及其精细结构的照片，确认了索末菲尔德的预测。帕申的测量使得能够通过原子光谱确定精细结构常数。索末菲尔德有一个了不起的想法：这种新测量可以作为几个基本常数的交叉验证，比较α与独立测量的电子电荷、普朗克常数和光速，它们都完全一致。
1918年，当马克斯·普朗克获得诺贝尔奖时，他在诺贝尔演讲中将索末菲尔德的工作与天文学中海王星轨道的数学预测相提并论。正如在1911年首届索尔维会议上提出量子化轨道的阿瑟·爱丁顿所说，帕申的测量不仅为玻尔和索末菲尔德的思想带来了辉煌的成功，也为相对论理论带来了辉煌的成功。
索末菲尔德的原子模型通常被大多数教科书忽略，可能是因为它相比玻尔模型数学上更加复杂，或者因为它很快被量子力学取代了。就像玻尔模型一样，索末菲尔德的模型无法解释包含多个电子的系统的行为，也无法解释塞曼效应和斯塔克效应，而且量子化规则只适用于周期性运动。此外，后来发现，完全理解光谱线的精细结构还需要引入电子自旋。
尽管如此，当保罗·狄拉克发展出电子的完全相对论量子理论时，他发现当能量以精细结构常数的泰勒级数展开时，结果与索末菲尔德的结果完全一致。有趣的是，正是索末菲尔德最著名的学生重新定义了如何发展新的量子理论。维尔纳·海森堡意识到，我们从未测量过原子中的电子，我们从未看到它的运动，我们从未观察到轨道。我们唯一观察到的就是光谱线。海森堡提出了现代物理学中最激进的思想之一：停止尝试描述电子的运动，新的量子理论应该放弃经典轨迹，只专注于实验的观测结果。
来源：老胡说科学