摘要：下面这道矩形、动点、求值题，题意不难理解，但不容易形成思路，据说曾难倒一大片同学。您敢挑战一下吗？

#一起知识跨年#

很多省份的中考压轴大题，以四边形为载体综合考查。

下面这道矩形、动点、求值题，题意不难理解，但不容易形成思路，据说曾难倒一大片同学。您敢挑战一下吗？

本题辅助线很精彩；本文暂提供13种解法。前5种解法均有详细解析，后8种解法有详细点拨。至于面积法、向量法等，留给同学探究。

解题独立思考，不搜答案。

本题附图。

本题解法一的详细分析和求解

延长FE交AD于点G，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，又已知CE＝3AE，∴由平行线分线段成比例知CF＝3AG。

设BF＝t，则CF＝，故，

解法一随时附图。

解法一之附图。

在Rt△DEH中，EH＝1，HD＝AD－AH＝4－＝3，由勾股定理DE＝2。连接BE，∵＝，＝，∴CE:CB＝CB:CA，又夹角公共角∠BCE＝∠ACB，∴△BCE∽△ACB，∴BE＝BC×cos60°＝且对应角∠CBE＝∠CAB＝60°。而已知∠DEF＝120°，∴其补角∠DEG＝60°，故∠DEG＝∠EBF-----①。由内错角∠DGE＝∠EFB-----②，由①②知△DEG∽△EBF，故

解法一随时附图。

故，即，亦即，计算不复杂、两边平方，，，=0，,别忘了给他写上“经检验”。

解法一虽麻烦，但也是一种解法。

证第一次相似△BCE∽△ACB也可以设矩形对角线交于点O，由OE＝AE及OB＝AB得BE⊥AC，∠CBE＝60°。这样较简捷。

解法一主要用到：①平行线分线段成比例；②相似；③三角函数；④无理方程；⑤求解一元二次方程等。

每做完一题，注意及时归纳总结。

解法二依然主要利用“平行线分线段成比例”和“相似”。

但，不同的思路、不同的辅助线，使解法更加丰富多彩。

解法二的详细分析和求解，下接附图：

解法二之附图，详解待续：

MF，则MF＝MC，∠3＝∠2＝30°，∠EMF＝∠KAE＝60°------①

如果再找一组对应角相等，就可以证得△EMF∽△KAE了。

忽然发现已知∠DEF＝120°还没用到！

∵∠DEF＝120°，∴∠5＝60°＝∠KAE-------②

由补角定义∠5＋∠6＋∠7＝180°------③

由三角形内角和∠KAE＋∠8＋∠7＝180°-④

由②③④得∠6＝∠8--------⑤ 往下该用相似了。

本题知识点较碎，碎玉轩，书写卷面耐心

解法二较简捷，计算也较简便。

解法三主要利用“平行线分线段成比例”和三角函数。

思路也较简捷。

如下图辅助线，可求得DP＝。容易理解吧？

解法三随时附图。

卷面书写步骤参考如下：

∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝90°，AD＝BC＝，DC＝AB＝4。由勾股定理AC＝8。而已知CE＝3AE，故AE＝2。

∵sin∠DAC＝DC/AC＝1/2，∴∠DAC＝30°，这一步也可不用三角函数：连接BD交AC于点O，由矩形对角线相等且相互平分知△ODC为等边三角形，故∠DCA＝60°，则∠DAC＝30°。

过点E作EP⊥AD于点P，则EP＝AE＝1，AP＝，故DP＝AD－AP＝。

则tan∠2＝＝。下面证明∠BEF＝∠2。它有以下两种证法：

证法一：先证∠EBF＝60°。

解法三随时附图

连接BE、BD，设BD交AC于点O，由矩形性质得OB＝BD＝AC＝4＝OA＝AB，即△OAB为等边三角形。

又由OA＝4及AE＝2得OE＝2＝AE，由等腰三角形底边上的中线垂直底边得BE⊥AC。

∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠3＝∠DAC＝30°，则∠EBF＝60°。

解法三内的证法一随时附图

延长FE交AD于点Q，则内错角∠4＝∠5。

∵∠DEF＝120°，∴由补角定义∠6＝60°＝∠EBF。

由三角形外角得∠5＝∠EBF＋∠BEF，∠4＝∠6＋∠2，两式相减得∠BEF＝∠2。

解法三内的证法一之附图

证法二思路点拨：证得BE⊥AC后，∠BEF＋∠7＝90°。

由已知∠9＋∠7＝120°，而∠10＝60°，∠9＋∠8＝180°－∠10＝120°，故∠7＝∠8。

则90°－∠7＝90°－∠8，即∠BEF＝∠2。

解法三内的证法二之附图

殊途同归，证得∠BEF＝∠2后则有tan∠BEF＝tan∠2＝。下面辅助线构造tan∠BEF。

在Rt△ABE中，AE＝2，A,B＝4，故BE＝。

过点B作BS⊥EF交EF的延长线于点S，则BS＝BE×tan∠BEF＝×＝。

则BS:CE＝:6＝1:9。又BS∥CE，BF:FC＝BS:CE＝1:9，故BF:BC＝1:10，则BF＝BC＝×=。

解法三之附图。

本题的书写步骤太麻烦。

本题解法四的详细分析和求解

解法四：高中解法，简单明快。主要利用建立坐标系。

解法四的详细分析和求解，下接附图：

本题解法四之附图。

多练发散思维，让自己有广阔思路。

本题解法五的详细分析和求解

解法五：初中解法，主要用到“三角函数”、“含30°角的直角三角形性质”。

如下图辅助线，先证标双线的∠FEC＝∠EDR。

由已知∠FEC＋∠DEC＝120°，而在△DEC中∠EDR＋∠DEC＝180°－∠DCE＝120°，故∠FEC＝∠EDR。则tan∠FEC＝tan∠EDR。显然tan∠EDR＝。

解法五随时附图

设ET＝m，则CT＝6－m，FT＝CT×tan30°＝，故tan∠FEC＝FT:ET＝。

由tan∠FEC＝tan∠EDR得＝，即6－m＝9m，m＝，则CF＝CT÷cos30°＝，故BF＝BC－CF＝－＝。

另外8种解法汇总

本题的另外8种解法，篇幅限制，我辅助线思路点拨一一附图如下：

本题解法六附图

本题解法七附图

本题解法八附图

本题解法九附图

本题解法10之附图

本题解法11之附图

本题解法12之附图

本题解法13之附图

后8种解法较粗略，您在书写卷面时可参考前5种详细步骤。

平时学习，就怕老师讲得太快。

精做细讲，才是快速提高的奥妙。

精做细讲，预祝您中考获胜！

作者简介

中共党员，高中教务主任，常年兼任高中数学、物理、化学等科目。中考数学命题组成员。

专注教育领域，持续发布中考、高考压轴大题的多角度原创详细权威解析，力求篇篇经典。从不照搬答案。

到了高中，俺依然是您的良师益友。

发文涉及科目主要有中高考数学、物理，偶尔也有英语、化学、作文。

到了高中，俺将一直是您的良师益友。

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来源：优美教育