期权杂记：波动率初探

摘要：【导读：波动率的相关概念、解释，对期权来说具有十分重要的意义，既要让大家充分了解相关内容，又不至于过于深奥难懂，详略之间，颇费思量。下面将要介绍的内容，尽量会通俗易懂，达到入门期权交易者需要掌握的程度，点到即止。如果不想阅读抽丝剥茧（也可以说是拖沓冗长）的分析

【导读：波动率的相关概念、解释，对期权来说具有十分重要的意义，既要让大家充分了解相关内容，又不至于过于深奥难懂，详略之间，颇费思量。下面将要介绍的内容，尽量会通俗易懂，达到入门期权交易者需要掌握的程度，点到即止。如果不想阅读抽丝剥茧（也可以说是拖沓冗长）的分析过程，请直接跳到“结语”部分，这丝毫不会遗漏任何重要内容。顺便说一下此文的缘起：以前整理的一篇关于Gamma剥头皮的读书笔记，意外地获得了几位热爱学习的读者的留言，他们想让讲讲波动率，对于“讲讲”这个词，我是万万不敢用的，但我还是答应尽自己的能力整理一下波动率及其相关的一些基本概念。谨以本文，践行所诺。】

极简期权定价原理随机漫步与正态分布均值与标准差远期价格作为分布的均值波动率作为分布的标准差隐含波动率与已实现波动率波动率的常见特征预测未来已实现波动率结语

1. 极简期权定价原理

其实，期权定价模型的原理没那么复杂，只要稍微用些心力，都是可以理解的。作为后续讨论的基础，我首先在这里试着解释一下期权定价的原理，当然是极简的，也就是不超越加减乘除的范围。

期望价值(expected value)是统计学上的一个概念，指各种情景对应的值与各种情景所对应的概率乘积之和。

例如，如果假定标的两个月后的价格为80元、90元、100元、110元、 120元的概率都为20%，那么两个月后标的的期望价值为:

80×20%+90×20%+100×20%+110×20%+120×20%＝100(元)

同样，对于期权来说，也可以按照同样的方法确定期权的期望价值。即如果我们知道了标的价格在到期日的分布概率，我们就可以求得期权的期望价值。

例如，假设我们持有一份行权价格为100元的看涨期权，标的合约在到期时的价格和概率都与上面的例子相同。则有，如果标的合约到期价格为80元、90元或100元，看涨期权到期后的价值为0；如果标的合约到期价格为110元或120元，看涨期权的价值为其内在价值10元或20元。如下图所示：

那么这个看涨期权的期望价值就为:

0×20%+0×20%+0×20%+10×20%+20×20%＝6（元）

在这里，这个期望价值6元就是期权的价值，在不知不觉之间，你已经成功为该期权定好价了。这就是期权定价的原理：首先确定好标的的可能价格，然后对每一价格赋予相应的概率，最后针对每个到期可能价格，计算出期权相应的内在价值，再将这个值乘以相应的发生概率，并将所有结果相加，就得到期权的期望价值，即期权的价值。

即使是最广泛使用的布莱克-斯科尔斯模型（BSM模型），其推导过程也与刚才的过程相似，只是它针对的是更多可能的价格，并为每个可能价格提供更好的概率预测而已。那如何才能更好地预测概率？或许统计学能给我们提供帮助。

小结：给定可能价格和对应的发生概率，我们可以给期权定价。现在我们面临的问题是如何更好地预测可能价格和以及其发生概率，我们尝试从统计学中找找解决方案。

2. 随机漫步与正态分布

还是让我们先从如下左图的弹球迷宫游戏谈起吧。弹球迷宫游戏的规则如下：在小球由于重力作用从顶部穿过很多钉子掉落进迷宫的过程中，小球碰到每根钉子都有50%的概率向右边滑落、有50%的概率向左边滑落。然后球会掉落至新的一层后又遇到另一个钉子。最后，在迷宫底部，球掉进其中一个卡槽里。小球穿过各层钉子落入迷宫下落，遵循随机漫步(random walk)。如果有足够多的小球滑落进迷宫，我们将会得到小球的分布，如下右图所示。大多数小球会集中在迷宫的中间区域，远离中间区域的小球数会越来越少。如果无数个小球落入迷宫，会形成正态分布(normal distribution)，正态分布通常被用来描述此类随机漫步事件的可能结果分布。

现代证券投资学的一个基本假设是，价格的波动是随机发生的，就像弹球迷宫游戏中小球的运动轨迹一样。也就是说价格的每日涨跌符合随机漫步的特征，是一个随机事件。故而我们也可以用正态分布描述价格的随机波动结果。也就是说，利用正态分布或许可以更好地预测价格的概率分布情况。

小结：价格波动遵循随机漫步，随机漫步事件可以很好地用统计学中的正态分布描述，因此我们可以用正态分布描述价格的随机波动结果。现在我们面临的问题是如何来具体描述一个正态分布？

3. 均值与标准差

在统计学上，所有的正态分布都可以用均值(mean)与标准差(standard deviation)这两个变量来描述。即如果我们知道分布是正态的，也知道这两个变量的取值，我们就知道了分布的所有特征。我们可以把均值理解为分布曲线峰值所在的位置（也就是说具有最大的发生概率），把标准差理解为曲线向左右两边展开的速度。如果分布曲线迅速向两边展开，说明更少的事件落在均值附近，即具有较高的标准差；如果分布曲线缓慢向两边展开，说明更多的事件落在均值附近，即具有较低的标准差。

小结：所有的正态分布都可以用均值与标准差来描述，知道了这两个值，就知道了正态分布的所有特征。那现在的问题是：我们如何确定正态分布的均值与标准差。这分为两个问题，一是如何确定均值，二是如何确定标准差。我们先来解决如何确定均值的问题。

4. 远期价格作为分布的均值

分布应该集中在到期日最有可能的价格附近。虽然我们不能准确地知道价格会是多少，但是如果我们假设标的合约没有套利机会，那么标的合约的远期价格将是一个合理的猜想。如何来计算远期价格呢？可以根据标的合约的当前价格、到期日、利率计算出标的合约的远期价格。

例如，我们假设，标的是以100元的价格交易的股票，当前年利率为12%，那么该股票2个月之后的远期价格为:

100×[1+(0.12×2/12)]＝100×1.02＝102(元)

如果股票的远期价格是102元，我们可能想要将概率围绕102元而不是100元对称地分配。即我们倾向于假设远期价格代表分布的均值。

小结：如果假设标的合约没有套利机会，那标的的远期价格最有可能成为分布的中心，因此我们便倾向于假设远期价格表示分布的均值。好，确定分布均值的问题得到解决之后，就要面对如何确定标准差的问题了。

5. 波动率作为分布的标准差

除均值外，我们还需要知道标准差来充分地描述正态分布曲线。如何确定标准差？答案就是波动率，波动率就是标准差，波动率就是标准差在投资领域的别称，波动率就是交易者称呼标准差的术语，重要的事情说三遍。均值由标的的远期价格来描述，标准差由波动率来描述，那价格的正态分布情况就确定了，如下图所示。

确定了正态分布，然后就可以利用我们先前介绍的期权定价原理给期权定价了，期权定价流程简图如下所示（真实过程要复杂得多，在此不赘述）：

从上图可知，如果给定了：① 剩余到期时间；② 当前标的价格；③ 利率；④ 行权价；⑤ 波动率，我们就能求得期权合约的理论价值，也就是即期价值，也就是交易者愿意现在支付而长期来看正好不盈不亏的价格。在这五个变量当中，当前标的价格、行权价、到期时间是比较确定且不变的；利率相对来说最不重要且影响较小，一经确定通常也不会发生变化。那么期权的理论价值在很大程度上就取决于标的的波动率。这也使得标的的波动率实际上处于期权定价的核心位置。

因为希腊字母 Sigma(σ)是代表标准差的传统符号，所以我们依然使用相同的符号来代表波动率。波动率表明标的价格的波动性，亦即价格偏离均值的离散程度。在期权市场上，我们几乎时时刻刻都在和标的的波动率打交道，如果某个标的的波动率是18%，它的含义是这个标的价格分布的年化标准差为18%，反之亦然。假设这个标的的现价为100元，那么一年后，这个标的的价格就在100元正负1个σ的范围内波动，即在82元至118元之间(100±100×18%)。换句话说，如果我们知道了标的的波动率，我们就可以知道当前这个波动率所暗示的、一年后标的价格的波动范围。这一点对于交易者来说十分重要，因为正态分布标准差的分布概率已经被统计学家总结出来了，因此，如果知道了标的的波动率，我们实际上就知道了当前波动率所暗示的标的价格未来的分布概率。在上述例子里，由于正负1个σ对应的分布概率为68.3%，因此一年后标的价格在82~118元的分布概率即为68.3%。对于正态分布来说，我们需要对标准差对应的分布概率相当熟悉:

±1个σ，涵盖68.3%的范围，大约是2/3的分布概率;

±2个σ，涵盖95.4%的范围，大约是19/20的分布概率;

±3个σ，涵盖99.7%的范围，大约是369/370的分布概率。

下图显示了标准正态分布下1~3倍标准差的分布概率：

此外，标准差的另一个重要特性就是其可加性。假定我们知道当前的标的价格为220元，其波动率为20%，那么我们就可以知道，其1倍标准差的范围为220×20%＝44。就目前动率而言，一年后，其价格在1倍标准差范围内(200±44×1)的概率为68.3%，在2倍标准差范围内(200±44×2)的概率为95.4%，在3倍标准差范围内(200±44×3)的概率为99.7%。

当交易者讨论波动率时，即使是有经验的交易者也可能会发现他们讨论的并不总是同一个东西。当交易者认为波动率为25%时，这种说法具有很多种含义，因为波动率有不同的类型。如果我们对交易者谈及的波动率给出一些明确的分类，就可以在接下来的讨论中避免出现困惑。首先，我们将波动率分为两类——与标的关联的已实现波动率(realized volatility)，以及与期权关联的隐含波动率(implied volatility)。

小结：我们确定了把波动率作为分布的标准差，再加上把远期价格作为均值，这样一来，我们就可以完整描述价格的正态分布了。然而当交易者讨论波动率时，即使是有经验的交易者也可能会发现他们讨论的并不总是同一个东西，这时就需要把波动率进行更具体的分类，即分为与标的关联的已实现波动率，以及与期权关联的隐含波动率。

6. 隐含波动率与已实现波动率

我们来看一个实际的例子。某个标的的即期价格为34.38元，我们想通过期权定价模型，计算一个月后行权价为34.5元的看涨期权的价格。该标的过去价格的波动率为47.2%，我们假定未来一个月波动率维持不变，当下无风险利率为1.75%。将上述所有相关变量输入定价模型，我们得出，这个看涨期权的价格应该是1.72元。但事实上，我们看到市场上给出这个期权的定价是1.87元，并在按照这个价格成交。这一定是因为哪里出了问题，才会导致这两个值不相等。如果将输入模型的波动率上调，我们会发现，当输入51.2%时，模型计算出的看涨期权价格恰恰是1.87元。像这样，以市场当下的期权价格，反推出来的波动率51.2%，就是隐含波动率。换句话说，隐含波动率是隐含在期权定价模型当中，以当下的期权价格反推出来的一个结果，它直接跟当下的期权价格相关。而上述例子中的过去的波动率47.2%，则是标的的已实现波动率。已实现波动率直接与标的价格(而非期权价格)相关，是标的在一年时间里每日价格变化的年化标准差，也就是说，已实现波动率是对标的价格过去波动情况的一种描述。此外，已实现波动率除了可以按照每日价格进行计算外，也可以是每周或每月。实证研究表明，时间间隔不同，波动率会略有差别，但总体趋势不变。

已实现波动率又有历史已实现波动率(historical realized volatility)和未来已实现波动率(future realized volatility)之别。历史已实现波动率通常称为历史波动率，是过去一段时间内价格波动的年化标准差（事实上，有很多不同的方法来计算历史波动率，年化标准差只是最常用的那一个），是对过去价格变化的一种统计描述。未来已实现波动率则是对标的价格在未来实际波动情况的一种预估。在上述例子中，无论是我们一开始输入的历史已实现波动率47.2%，还是后来按照市场价格计算出来的隐含波动率51.2%，实际上都代表了对未来已实现波动率的某种预估。作为交易者，我们真正想知道的是未来已实现波动率。事实上，未来已实现波动率才真正决定了期权的价值，而隐含波动率反映出的是当下期权市场对未来波动率的一种预估。一旦我们比较正确地预估了未来已实现波动率，我们就可以判断当下的隐含波动率是高估了还是低估了，即期权价格是高估了还是低估了，从而做出相应的交易决策。你也可以这样理解，未来已实现波动率决定了期权价值，隐含波动率反映了期权的价格。

此外，一般在谈论隐含波动率的时候，我们指的都是隐含波动率的年化表达。如果要计算比如一天、一周、两周、三周、一个月后的价格波动范围，就需要将年化隐含波动率进行相应的调整。事实上隐含波动率与时间的平方根成反比，因此，如果要换算某一个时段的隐含波动率，只需用年化隐含波动率除以这个时段的平方根即可得到。具体来说，如果要计算每日的波动率，理论上应该使用√365，365来表示一年时段的平方根，但实际上并不是一年当中的每天都在交易，因此交易圈通常用√252来表示，这个数值约为16，因此V(daily)=V(annual）/16。同理，由于一年当中有52个单周，26个双周，17.3个三周， 12个月，因此有:

通过这几个公式，我们实际上可以将年化隐含波动率转化为我们比较关心、比较常用的特定时段的波动率。按照上述例子，年化隐含波动率为18%，每日的波动率为18%/16＝1.13%，每周的波动率为18%/7.2＝2.5%，每双周的波动率为18%/5.1＝3.53%，每三周的波动率为18%/4.2＝4.29%，每个月的波动率为18%/3.5＝5.14%。这实际上是将年化标准差转换为每日、每周、每双周、每三周、每月的标准差。据此我们可以计算每日、每周、每双周、每三周、每月的价格波动范围及相应概率。这是隐含波动率带给我们最重要的信息之一，我们可以据此以及自己可接受的风险水平，来构建相应的期权策略。换句话说，如果你要交易两周后到期的期权，那么你首先应该换算一下两周后的波动率是多少，至少对自己交易的胜率有一个大体了解。

所谓可接受的风险水平，就是与隐含波动率所暗示的波动范围和概率相比，自己愿意承担的风险。仍以上述例子为例，假设目前标的价格为200元，年化隐含波动率为18%，那么相应的月度波动率为5.14%，1倍月度标准差的值为200×5.14%＝10.28，则一个月后价格在1倍标准差(200±10.28)，即189.72~210.28元之间的概率为68.3%；价格在2倍标准差(200±10.28×2)，即179.44~220.56元之间的概率为95.4%；价格在3倍标准差(200±10.28×3)，即169.16~230.84元之间的概率为99.7%。如果我们要卖出一个月后到期的看跌期权，并且基于目前市场给出的隐含波动率，要求达到90%以上的胜率，那么通过查阅概率分布表（见下图），我们知道1.28σ大约对应了80%的分布概率，剩余20%的分布概率分别对应1.28σ上下两侧之外，即上行和下行分别对应10%。对于卖出看跌期权来说，我们仅关心下行风险，所以下行10%概率之外的90%分布都能满足我们的要求。因此，1.28σ对应的价格波动范围为13.16元(200×5.14%×1.28)，下行风险的-1.28σ对应的价格为186.84元。这个时候，如果要卖出看跌期权且满足90%的胜率要求，那么就应该选择价格在186.84元或之下的期权合约。这就是将隐含波动率与我们可接受的风险水平结合起来的一个实例。需要指出的是，在我们交易前，可接受的风险水平是我们根据当下市场给出的隐含波动率选定的，但市场未必会按照我们预想的方向和幅度变动，因此，即便我们要求达到90%以上的胜率，这笔交易在最后也未必能获利。10%的概率虽然小，但并非不可能。

小结：隐含波动率是隐含在期权定价模型当中，以当下的期权价格反推出来的一个结果，它直接跟当下的期权价格相关。已实现波动率是对标的价格过去波动情况的一种描述。已实现波动率又分为历史已实现波动率和未来已实现波动率。

7. 波动率的常见特征

我们在交易前考虑的主要是隐含波动率，一旦建立仓位，影响我们的主要是未来已实现波动率。为了准确地预测未来已实现波动率，我们首先需要对波动率的特征有所了解。还是先从一个现实中的例子说起吧。

假设我们正在尝试预测明天的最高气温，但是我们只有一条信息，即今天的最高温。那么我们能得出的最准确的预测是多少呢？因为气温通常不会在一天之内发生巨大的改变，所以我们对明天最高气温的预测可能与今天的最高温相同。温度数据是序列相关的(serial correlated)。在没有其他信息的情况下，对接下来一段时间内会发生什么能做出的最好推测，就是上一段时间内发生了什么。波动率好像就展示了这种序列相关的特征：将来会发生什么往往取决于过去发生了什么。

现在假设我们不仅知道今天的最高气温，还知道一年中同时期的平均最高气温。如果今天的最高气温高于平均气温，那么对明天最高气温明智的预测就是它会低于今天的最高气温。如果今天的最高气温低于平均气温，那么对明天最高气温的明智预测就是它会高于今天的最高温。我们知道气温往往会向均值回归(mean reverting)。波动率也具有这个特征。波动率就像天气一样，有很大的可能会向均值移动而不是远离均值。

如果我们将波动率与其标的价格进行比较，那么我们就会看到波动率向均值回归的特征，如下图所示。价格与波动率有时都会上涨，有时都会下跌。但是，价格在长时间内是可以向一个方向移动的，但与价格不同的是，波动率倾向于向均衡的数值回归。从ETF300股票期权上市起的5年时间里，510300的价格从最高5.725元跌到最低3.102元，又回升到4.656元，价格波动不可谓不大，然而波动率始终在11%与67%之间大幅波动（你还可以观察到，在去年9月，即2024年9月的价格井喷之前，只有两个月的波动率突破过40%），但是它最终还是会回落到17%与25%之间。

其实，几乎在所有交易的标的合约中，均值回归是一个常见的波动率特征。记住这一点非常重要，因为在预估未来已实现波动率时会利用到波动率的均值回归这个特性。

小结：波动率有序列相关和均值回归的特征。我们为什么需要知道波动率的特征？因为我们往期权定价模型中输入的波动率其实就是对未来已实现波动率的预测值，为了更好地预测未来已实现波动率，我们会用到波动率的相关特征。接下来我们就看一看如何预测未来已实现波动率。

8. 预测未来已实现波动率

我们首先看看该如何使用历史波动率数据与波动率特征来预测未来已实现波动率。

我们可能会希望观察到更多的历史波动率，但如果这些数据是唯一可供我们使用的，那么我们应该如何预测波动率呢？

一种可能的方法是取所有可用数据的均值:

(28%+22%+19%+18%)/4＝21.75%

这种方法下，我们给每个历史数据都赋予相同的权重。但是这合理吗？也许一些数据比另一些数据更重要。例如，一个交易者可能会假设近期数据更加重要。因为与其他的历史数据相比，过去6周28%的波动率更接近当前时间，也许28%应该在我们波动率的预测中起更重要的作用。例如，我们可能会给6周的波动率2倍的权重，即40%，但对于其他时间段的波动率，我们只会给20%:

(40%×28%)+(20%×22%)+(20%×19%)+(20%×18%)＝23.0%

我们对波动率的预测结果略微变大了，这是因为我们给6周历史波动率赋予了更多的权重。

当然，如果更加接近当前时刻的过去6周历史波动率确实比其他数据更重要，那么同理，过去12周的波动率应该比过去26周和52周的波动率更重要。过去26周的波动率比过去52周的波动率更重要。在我们的预测中，我们可以对较远的历史波动率赋予更少的权重。例如，我们可能会这样计算：

(40%×28%)+(30%×22%)+(20%×19%)+(10%×18%)＝23.4%

在这里，我们对6周波动率赋予了40%的权重，对12周波动率赋予了30%的权重，对26周波动率赋予了20%的权重，同时对52周波动率赋予了10%的权重。

我们假设越靠近当前的数据就越重要。这总是正确的吗？如果我们对评估短期期权感兴趣，那么也许短期数据就是最重要的。但是，假设我们对评估长期期权感兴趣，那么在长期中，波动率均值回归的特征有可能会降低任意波动率短期波动的重要性。事实上，在非常长的时期内，对波动率最合理的预测就是简单地求出标的资产的长期波动率均值。因此，我们对不同的波动率数据赋予的权重，取决于我们感兴趣的期权距离到期日的剩余时间。

在某种意义上，我们处理的所有的历史波动率都是当前数据；它们无非是覆盖了不同的时间段。那么我们如何才能知道哪个数据是最重要的呢？除了均值回归的特征，我们知道波动率也是序列相关的。假设两个时间段长度相同，任意给定时间段内的波动率可能取决于之前时间段内的波动率，或者是与之前时间段内的波动率相关。如果1份合约在过去4周内的波动率为15%，那么在接下来的4周内，波动率很有可能接近于15%而不是远离15%。一旦我们意识到这点，我们可以合理地给时间长度最接近于我们感兴趣期权存续时间的波动率数据赋予最大的权重。也就是说，如果我们交易长期期权，那么我们应该给长期数据赋予最大的权重。如果我们交易短期期权，那么我们应该给短期数据赋予最大的权重。同时，如果我们交易中期期权，那么我们应该给中期数据赋予最大的权重。

考虑到波动率序列相关的特征，如果我们只有4个历史波动率：6周、12周、 26周以及52周波动率，那么我们应该给5个月之后到期的期权赋予多大的波动率呢？因为5个月约等于26周，所以我们可以对26周波动率赋予最大的权重，同时给其他数据赋予相应较小的权重：

(15%×28%)+(25%×22%)+(35%×19%)+(25%×18%)＝20.85%

相反，如果我们对评估3个月的期权感兴趣，那么我们可以对12周的历史波动率赋予最大的权重：

(25%×28%)+(35%×22%)+(25%×19%)+(15%×18%)＝22.15%

我们就此打住吧，因为这种思维研究可以一直持续下去，比如指数加权移动平均模型（Exponentially Weighted Moving Average model，EWMA）,广义自回归条件异方差模型（Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity model, GRACH）等等。

我们目前只是想根据历史已实现波动率和波动率特征来预测未来已实现波动率。当然我们也可以采用相同的分析方法根据隐含波动率和波动率特征来预测未来已实现波动率，毕竟正如许多交易者相信的一样，如果市场价格可以反映所有影响合约价值的可用信息，那么隐含波动率应该是对未来已实现波动率最好的预测。事实真是如此吗？许多人对许多市场进行了详细的研究，其结论是：对于未来波动率来说，隐含波动率也不是一个完美的预言者。正常情况下，隐含波动率看起来过高——期权往往是被高估的。期权买方可能会愿意支付额外的权利金，从而换取对隐含波动率过低，之后又激增这种罕见情况的保护。这类似于保险。一个理性的保险买方会意识到，保险合约的价格几乎肯定高于它的价值。否则，保险公司就不会有盈利的可能。但是，保险的买方愿意为这些极少数的意外情况支付额外的权利金。当发生不可预见的事情时，购买保险就是绝对有必要的。

历史已实现波动率，隐含波动率，波动率特征，只是用来预测未来已实现波动率的常见因素而已，市场还有很多很多其他的因素会影响到我们的预测。并且，每个市场都有它自己的特征，理解某一特定市场——利率、外汇、股票或者商品的特征，并把他们纳入计算也是非常重要的，然而，这些知识只能从对市场的仔细研究与实际的交易经验中获得。

很难说哪种预测方法更加有效，在过去20年里，未来已实现波动率的衡量和预测没有本质上不同的进展。即便是对一个有经验的期权交易者来说，确定正确的未来已实现波动率参数也是一个困难和令人沮丧的练习。鉴于波动率预测的不确定性，交易者需要根据市场的最新情况来动态调整自己的预测，并为可能的预测错误提前做好必要的风险应对措施。

小结：交易者通常综合根据历史已实现波动率，隐含波动率，波动率特征，以及其他因素来预测未来已实现波动率，然而很难说哪种预测方法更加有效，鉴于波动率预测的不确定性，交易者需要为预测保留足够的容错空间，并在必要时采取风险控制措施。

9. 结语

本文简单介绍了波动率的前世（从何而来），今生（波动率的概念和特征）和未来（如何预测未来已实现波动率），以及与之相关的一些其他基本概念。本文的叙述脉络和内容梗概总结如下：

我们先从极简期权定价模型谈起。了解到只要给定标的的可能价格和对应的发生概率，我们就可以给期权定价。设定可能价格及其发生概率不是一件简单的事，我们可能需要从统计学找些灵感。

接着我们介绍了随机漫步与正态分布。如果我们可以假设价格的波动是随机发生的，即遵循随机漫步，便可以用正态分布来描述每个可能价格及其对应的发生概率，这恰好就是我们在开发期权定价模型时要解决的问题。那现在的问题转变为如何才能描述具体的正态分布。统计学已经为我们解决了这个问题。

在统计学上，所有的正态分布都可以用均值与标准差来描述，知道了这两个值，就知道了正态分布的所有特征。那现在问题转化为：我们如何确定正态分布的均值与标准差。

我们可以根据利率和时间计算出当前标的价格的远期价格，如果假设没有套利机会，这个远期价格将具有最大的发生概率，这天然适合成为概率分布的中心，正态分布概率的中心正是均值所在的位置，因此远期价格作为分布的均值合情合理。

均值确定之后，就该轮到确定标准差了。其实，波动率就是标准差在投资领域的别称。波动率表明标的价格的波动性，亦即价格偏离均值的离散程度。波动率的取值需要由交易者提供，由交易者输入期权定价模型。到此，我们完全确定了正态分布的均值和标准差，也就解决了期权定价模型的主要问题。在费时费力引出了波动率之后，接下来的讨论就主要集中在波动率上了，毕竟它才是本文的主角。

当交易者讨论波动率时，即使是有经验的交易者也可能会发现他们讨论的并不总是同一个东西，这时就需要把波动率进行更具体的分类，即分为与标的关联的已实现波动率，以及与期权关联的隐含波动率。隐含波动率是隐含在期权定价模型当中，以当下的期权价格反推出来的一个结果，它直接跟当下的期权价格相关。已实现波动率是对标的价格过去波动情况的一种描述。已实现波动率又分为历史已实现波动率和未来已实现波动率。历史已实现波动率通常称为历史波动率，是过去一段时间内价格波动的年化标准差，是对过去价格变化的一种统计描述。未来已实现波动率则是对标的价格在未来实际波动情况的一种预估，它就是我们需要在期权定价模型中输入的波动率，如果提供了错误的未来已实现波动率，就会得到错误的概率，得到了错误的概率，就会得到错误的理论价值，一步错，步步错，可见未来已实现波动率的取值有多么重要。为了更好地预测未来已实现波动率，我们需要知道波动率的特征。

波动率的常见特征是序列相关和均值回归。在没有其他信息的情况下，对接下来一段时间内会发生什么能做出的最好推测，就是上一段时间内发生了什么。波动率就展示了这种序列相关的特征：将来会发生什么往往取决于过去发生了什么。假如我们知道今天的最高气温和今天的历史平均最高气温。如果今天的最高气温高于平均气温，那么对明天最高气温明智的预测就是它会低于今天的最高气温。如果今天的最高气温低于平均气温，那么对明天最高气温的明智预测就是它会高于今天的最高温。气温往往会向均值回归。波动率就像气温一样也有均值回归的特性，它有很大的可能会向均值移动而不是远离均值。

在了解了历史已实现波动率，隐含波动率，及波动率的特征之后，接下来就可以使用它们来预测未来已实现波动率了，当然在实际的预测中，还要综合考虑其他因素。令人沮丧的现实是，没有哪个预测方法更加有效，然而这不正是期权交易的魅力所在吗？鉴于波动率预测的不确定性（事实上，预测未来哪会有有什么确定性），交易者需要为预测保留足够的容错空间，并在必要时采取风险控制措施。

最后，我整理了一张图，它包含了本文相关的大部分重要概念以及这些概念之间的关系。