PNAS速递：微观-宏观双向因果的复杂系统动力学理论

摘要：在自然科学和社会科学的许多复杂系统中，在微观尺度上控制系统动力学的机制取决于粗粒化的宏观尺度上表征系统的状态变量的值（Goldenfeld and Woese, 2011，Noble et al., 2019，Chater and Loewenstein, 2

摘要

在自然科学和社会科学的许多复杂系统中，在微观尺度上控制系统动力学的机制取决于粗粒化的宏观尺度上表征系统的状态变量的值（Goldenfeld and Woese, 2011，Noble et al., 2019，Chater and Loewenstein, 2023）。状态变量，反过来，是相关微观尺度变量概率分布的平均值。无论是自上向下的推理模型，还是自下向上的机械模型，都不能单独预测这种尺度纠缠系统（scale-entwined systems）对扰动的反应。我们描述并探索了一种动力学理论的特性，该理论结合了自上向下的信息理论推理和自下向上的状态变量依赖机制。该理论预测了微观变量上非平稳概率分布的函数形式，并将随时间变化的宏观变量的轨迹与这些分布的形式联系起来。从Maxent解中得到的拉格朗日乘子时间演化的解析表达式允许在高维系统中快速计算状态变量的时间轨迹。在非平衡化学热力学、流行病学、经济学和生态学中可能应用于规模的例子——缠绕系统举例说明了该理论潜在的多学科范围。一个已完成的低维示例说明了该理论的结构，并演示了尺度纠缠如何导致从扰动中恢复缓慢，响应白噪声输入的时间序列谱变红，以及参数位移和随后恢复时的滞后。

在自然界和社会科学中，许多复杂系统的微观机制与宏观状态变量相互依存：例如气体分子的动能与温度、工人收入与国民经济总量、物种个体代谢率与生态系统生产力。传统建模方法要么从微观机制自下而上推导（Bottom-Up），要么从宏观统计自上而下推断（Top-Down），但两者均无法捕捉跨尺度（scale entwinement）双向因果——即宏观变量影响微观动力学，而微观变量分布又决定宏观状态。近期，发表于PNAS的一项研究提出了一种动态最大熵跨尺度理论（DyMES），为这类“纠缠系统”提供了统一的建模框架。

经典统计力学中，宏观状态（如温度）通过最大熵原理（Maxent）约束微观变量分布（如分子动能）。但这一方法假设系统处于稳态，难以描述疫情传播、经济波动等动态过程。另一方面，基于微观机制的模型（如流行病学中的SIR模型）虽能追踪个体行为，却忽略宏观变量对个体的反馈（例如公众对疫情信息的响应）。DyMES的核心突破在于将两种方法结合：既用最大熵推断微观分布，又通过动态约束反映宏观状态对微观机制的调控。

该架构通过引入时间依赖的拉格朗日乘子，将宏观变量的时间导数纳入最大熵的约束条件。具体步骤包括：首先对微观分布进行建模，基于当前宏观状态变量及其时间导数，利用最大熵原理推断微观变量的概率分布；其次，通过微观转移函数（其形式可依赖宏观变量）驱动微观动力学，进而更新宏观状态变量。该理论将传统静态最大熵扩展至动态场景，通过引入时间导数约束，同步追踪概率分布与宏观变量的演化。其中，推导出拉格朗日乘子的微分方程，可以避免传统方法中反复数值优化的计算瓶颈，使高维系统模拟效率提升一个量级。

图 1. DyMES架构的基本概念。Maxent对系统微观状态的概率分布施加了来自于时间演化的宏观状态变量的约束，而机制微观状态动力学既依赖于状态变量也依赖于微观变量的转移函数的。宏观尺度变量通过适当的状态变量的平均值及其在概率分布上的时间导数来更新。这就产生了一种将机制和动力学相结合的理论。

研究将DyMES应用于下面四个案例，展示其普适性：

非平衡热力学：模拟放热反应中分子动能分布随温度升高的演变，预测化学反应中非平衡分子动能分布及温度演化，验证Maxent在动态热力学系统的适用性。疫情传播：加入宏观感染率对个体接触行为的反馈，量化公共卫生信息（如疫情通报）对微观感染率与宏观传播轨迹的耦合作用。经济不平等：假设个人财富增长函数依赖国民总收入，揭示政策干预下收入不平等与GDP增长的动态关联，验证经济模式与分布演化的双向反馈。生态恢复：扰动后群落总生物量（N）呈现滞后恢复（hysteresis）和红化频谱（reddened spectrum），扩展传统的Logistic模型，解析扰动下群落恢复延迟、滞后效应及时间序列频谱红移的跨尺度成因（图2）。

图 2. DyMES示例生态系统对扰动的响应。

DyMES的模拟进一步详细讨论了跨尺度因果的三个深层动力学特性：

滞后效应：当宏观参数（如死亡率d₂）经历“扰动-复位”过程时，微观分布的历史依赖性导致系统无法回归原稳态。这是由于转移函数对宏观变量的显式依赖，使得微观状态的概率分布在扰动期间积累了非平衡项，揭示了跨尺度反馈的不可逆性。韧性下降：微观过渡函数受宏观状态调控时，外部扰动会通过双向因果链放大响应幅度并延缓恢复。韧性下降反映了跨尺度耦合对系统稳定性的“双刃剑”效应，增强适应性的同时，降低了抗干扰能力。双层稳态：拉格朗日乘子分为“零值”（经典平衡态，系统无宏观能量输入）与“非零值”（动态稳态，有持续宏观驱动），后者对应持续能量输入的开放系统。双层稳态突破了传统平衡态框架，为开放系统的非平衡动态提供了分类依据。