摘要：利用三角函数公式化简f(x)=5\cos x - \cos5x，\cos5x = \cos(4x + x)=\cos4x\cos x-\sin4x\sin x，再结合倍角公式逐步化简（也可利用导数）。

1. （1）求f(x)在[0,\frac{\pi}{4}]的最大值

- 利用三角函数公式化简f(x)=5\cos x - \cos5x，\cos5x = \cos(4x + x)=\cos4x\cos x-\sin4x\sin x，再结合倍角公式逐步化简（也可利用导数）。

- 对f(x)求导f^\prime(x)=-5\sin x + 5\sin5x，根据和角公式\sin5x=\sin(4x + x)=\sin4x\cos x+\cos4x\sin x，进一步化简f^\prime(x)=-5\sin x + 5(\sin4x\cos x+\cos4x\sin x)，再利用倍角公式\sin4x = 2\sin2x\cos2x = 4\sin x\cos x\cos2x等化简，或者利用\sin A-\sin B = 2\cos\frac{A + B}{2}\sin\frac{A - B}{2}，f^\prime(x)=5(\sin5x-\sin x)=5\times2\cos3x\sin2x = 10\cos3x\cdot2\sin x\cos x = 20\cos3x\sin x\cos x。

- 在[0,\frac{\pi}{4}]上，\sin x\geq0，\cos x\geq0，\cos3x：当x\in[0,\frac{\pi}{4}]，3x\in[0,\frac{3\pi}{4}]，\cos3x在[0,\frac{\pi}{3}]非负，[\frac{\pi}{3},\frac{3\pi}{4}]非正，但f^\prime(x)在[0,\frac{\pi}{4}]，x = 0时f^\prime(0)=0，x\in(0,\frac{\pi}{4})，\sin x\gt0，\cos x\gt0，\cos3x在x\in[0,\frac{\pi}{9}]正，[\frac{\pi}{9},\frac{\pi}{4}]部分情况，不过另一种方式，f(x)在[0,\frac{\pi}{4}]，f(0)=5\cos0-\cos0 = 4，f(\frac{\pi}{4})=5\cos\frac{\pi}{4}-\cos\frac{5\pi}{4}=5\times\frac{\sqrt{2}}{2}-(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 3\sqrt{2}\approx4.24，再看导数，f^\prime(x)=20\cos3x\sin x\cos x，在[0,\frac{\pi}{4}]，当x\in[0,\frac{\pi}{6}]，\cos3x\geq0，f(x)递增；x\in[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}]，\cos3x可能变负，但计算f(x)的最大值，通过化简f(x)=5\cos x-(2\cos^{2}2x - 1)（因为\cos5x = 1 - 2\sin^{2}\frac{5x}{2}等，更简单的是用复数或已知公式\cos5x = 16\cos^{5}x - 20\cos^{3}x + 5\cos x，则f(x)=5\cos x-(16\cos^{5}x - 20\cos^{3}x + 5\cos x)=-16\cos^{5}x + 20\cos^{3}x=-4\cos^{3}x(4\cos^{2}x - 5)，令t = \cos x，x\in[0,\frac{\pi}{4}]，t\in[\frac{\sqrt{2}}{2},1]，y=-4t^{3}(4t^{2}-5)=-16t^{5}+20t^{3}，求导y^\prime=-80t^{4}+60t^{2}= - 20t^{2}(4t^{2}-3)，当t\in[\frac{\sqrt{2}}{2},1]，4t^{2}-3在t=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0.866时为0，\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0.707\lt\frac{\sqrt{3}}{2}，所以在[\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}]，y^\prime\gt0，t\in[\frac{\sqrt{3}}{2},1]，y^\prime\lt0，t = \frac{\sqrt{3}}{2}时y取得最大值，y=-16\times(\frac{\sqrt{3}}{2})^{5}+20\times(\frac{\sqrt{3}}{2})^{3}=-16\times\frac{9\sqrt{3}}{32}+20\times\frac{3\sqrt{3}}{8}=-\frac{9\sqrt{3}}{2}+\frac{15\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\approx5.196？不对，之前用f(0)=4，f(\frac{\pi}{4})=3\sqrt{2}\approx4.24，可能化简错了，正确的\cos5x展开：\cos5x = \cos(2\times2x + x)=2\cos^{2}2x - 1，\cos2x = 2\cos^{2}x - 1，所以\cos5x = 2(2\cos^{2}x - 1)^{2}-1 = 8\cos^{4}x - 8\cos^{2}x + 1，则f(x)=5\cos x-(8\cos^{4}x - 8\cos^{2}x + 1)=-8\cos^{4}x + 8\cos^{2}x + 5\cos x - 1，令t = \cos x，t\in[\frac{\sqrt{2}}{2},1]，y=-8t^{4}+8t^{2}+5t - 1，求导y^\prime=-32t^{3}+16t + 5，t = 1时y^\prime=-32 + 16 + 5=-11\lt0，t=\frac{\sqrt{2}}{2}时y^\prime=-32\times(\frac{\sqrt{2}}{2})^{3}+16\times\frac{\sqrt{2}}{2}+5=-32\times\frac{2\sqrt{2}}{8}+8\sqrt{2}+5=-8\sqrt{2}+8\sqrt{2}+5 = 5\gt0，所以存在t_0\in(\frac{\sqrt{2}}{2},1)使y^\prime = 0，但计算f(0)=5 - 1 = 4，f(\frac{\pi}{3})=5\times\frac{1}{2}-\cos\frac{5\pi}{3}= \frac{5}{2}-\frac{1}{2}=2，f(\frac{\pi}{4})=5\times\frac{\sqrt{2}}{2}-\cos\frac{5\pi}{4}= \frac{5\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\approx4.24，f(\frac{\pi}{6})=5\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\cos\frac{5\pi}{6}= \frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\approx5.196，哦，x = \frac{\pi}{6}\in[0,\frac{\pi}{4}]吗？\frac{\pi}{6}\approx0.523，\frac{\pi}{4}\approx0.785，所以x = \frac{\pi}{6}在区间内，此时f(\frac{\pi}{6})=3\sqrt{3}，而3\sqrt{3}\approx5.196，再看x = 0时f(0)=4，所以最大值是3\sqrt{3}？不对，可能我之前公式用错，正确的\cos5x公式是\cos5x = 16\cos^{5}x - 20\cos^{3}x + 5\cos x，所以f(x)=5\cos x-(16\cos^{5}x - 20\cos^{3}x + 5\cos x)=-16\cos^{5}x + 20\cos^{3}x = 4\cos^{3}x(5 - 4\cos^{2}x)，令t = \cos x，x\in[0,\frac{\pi}{4}]，t\in[\frac{\sqrt{2}}{2},1]，当t = \frac{\sqrt{3}}{2}（即x = \frac{\pi}{6}），5 - 4\cos^{2}x = 5 - 4\times\frac{3}{4}=5 - 3 = 2，\cos^{3}x = (\frac{\sqrt{3}}{2})^{3}=\frac{3\sqrt{3}}{8}，所以f(x)=4\times\frac{3\sqrt{3}}{8}\times2 = 3\sqrt{3}，而t = 1时f(x)=0，t=\frac{\sqrt{2}}{2}时f(x)=4\times(\frac{\sqrt{2}}{2})^{3}\times(5 - 4\times\frac{1}{2})=4\times\frac{2\sqrt{2}}{8}\times3=\frac{\sqrt{2}}{2}\times3=\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx2.12，所以f(x)在[0,\frac{\pi}{4}]的最大值是3\sqrt{3}？不对，x = \frac{\pi}{6}在[0,\frac{\pi}{4}]吗？\frac{\pi}{6}\approx0.52，\frac{\pi}{4}\approx0.785，是的，所以最大值是3\sqrt{3}？但可能更简单的方法，f(x)=5\cos x - \cos5x，f^\prime(x)=-5\sin x + 5\sin5x = 5(\sin5x - \sin x)=5\times2\cos3x\sin2x = 10\cos3x\sin2x，在[0,\frac{\pi}{4}]，\sin2x\geq0，当x\in[0,\frac{\pi}{6}]，\cos3x\geq0，f(x)递增；x\in[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{4}]，\cos3x\leq0，f(x)递减，所以x = \frac{\pi}{6}时f(x)取得最大值，f(\frac{\pi}{6})=5\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\cos\frac{5\pi}{6}= \frac{5\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}，所以（1）的最大值是3\sqrt{3}。

2. （2）证明：存在y\in[a - \theta,a + \theta]，使得\cos y\leq\cos\theta

- 因为y = \cos x在[0,\pi]上单调递减，\theta\in(0,\pi)，考虑区间[a - \theta,a + \theta]，\cos x的最小值在区间端点或使x靠近\pi的地方。

- 假设\cos y\gt\cos\theta对所有y\in[a - \theta,a + \theta]成立，因为\cos x在[0,\pi]递减，在[-\pi,0]递增，\theta\in(0,\pi)，a - \theta到a + \theta的区间长度为2\theta，\cos\theta=\cos(-\theta)，\cos x在x = \theta和x = -\theta处值为\cos\theta，若区间[a - \theta,a + \theta]不包含\theta和-\theta，但由于\cos x的周期性和单调性，当\theta\in(0,\pi)，取y = a+\theta（或a - \theta），若a+\theta\geq\theta（或其他情况），利用\cos x在[0,\pi]递减，若y\geq\theta，则\cos y\leq\cos\theta，所以假设不成立，即存在y\in[a - \theta,a + \theta]使得\cos y\leq\cos\theta。更严谨的：\cos x在R上，\cos\theta=\cos(-\theta)，函数y = \cos x的图象关于x = k\pi对称，\theta\in(0,\pi)，区间[a - \theta,a + \theta]的中点是a，长度为2\theta，\cos x在[\theta,2\pi-\theta]等区间的性质，或者用反证法：假设对任意y\in[a - \theta,a + \theta]，都有\cos y\gt\cos\theta，因为\cos x在[0,\pi]单调递减，所以y\in(a - \theta,a + \theta)\subseteq(-\theta,\theta)（模2\pi），但区间长度2\theta，当\theta\in(0,\pi)，(-\theta,\theta)的长度是2\theta，所以[a - \theta,a + \theta\(-\theta,\theta)（不妨设a = 0，平移不影响），但\cos\theta=\cos(-\theta)，在x = \theta和x = -\theta处\cos x=\cos\theta，矛盾，所以存在y\in[a - \theta,a + \theta]使得\cos y\leq\cos\theta。

3. （3）求b的最小值

- 已知5\cos x-\cos(5x + \varphi)\leq b对任意x成立，即b\geq[5\cos x-\cos(5x + \varphi)]_{\max}。

- 利用三角函数和角公式展开\cos(5x + \varphi)=\cos5x\cos\varphi-\sin5x\sin\varphi，则5\cos x-\cos(5x + \varphi)=5\cos x-\cos5x\cos\varphi+\sin5x\sin\varphi。

- 由（1）知5\cos x-\cos5x的表达式，要使存在\varphi，让5\cos x-\cos(5x + \varphi)的最大值最小，可考虑5\cos x-\cos(5x + \varphi)=A\cos x + B\sin x + C形式，利用辅助角公式。或者注意到5\cos x-\cos5x，当\varphi = 0时，5\cos x-\cos5x，我们要找\varphi使得5\cos x-\cos(5x + \varphi)的最大值最小，即5\cos x=\cos(5x + \varphi) + b，利用三角函数的有界性，\vert5\cos x-\cos(5x + \varphi)\vert\leq\sqrt{5^{2}+1^{2}}？

来源：银祥