摘要：幂的运算：包括同底数幂乘法（如\(a^3 \cdot a^2\)，需遵循 “底数不变，指数相加”，正确结果为\(a^5\)）、幂的乘方（如\((a^3)^2\)，“底数不变，指数相乘”，结果为\(a^6\)）、积的乘方（如\((-2a)^2\)，“先算积的乘方

一、代数板块

（一）整式运算

幂的运算：包括同底数幂乘法（如\(a^3 \cdot a^2\)，需遵循 “底数不变，指数相加”，正确结果为\(a^5\)）、幂的乘方（如\((a^3)^2\)，“底数不变，指数相乘”，结果为\(a^6\)）、积的乘方（如\((-2a)^2\)，“先算积的乘方，再算系数平方”，结果为\(4a^2\)），同时涉及复杂幂的变形（如\(32^n = 2^{5n}\)），需掌握幂的逆运算（如\(2^{3m+10n} = (2^m)^3 \cdot (2^{5n})^2\)），为代数式化简求值奠定基础。

整式乘除：

单项式乘多项式：如\(2a^2(a^2 - 3a - 2)\)，需用单项式分别乘多项式每一项，再合并同类项，注意系数与同底数幂的运算顺序，避免漏项或符号错误。

多项式乘多项式：如\((x - 2)(x - 5)\)，遵循 “先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再合并同类项”，展开后为\(x^2 - 7x + 10\)，需熟练掌握展开法则，减少计算失误。

单项式混合运算：如\(5ax(-3x^2y)^2\)，需先计算积的乘方（\((-3x^2y)^2 = 9x^4y^2\)），再进行单项式乘法（\(5ax \cdot 9x^4y^2 = 45ax^5y^2\)），考查运算顺序与符号处理能力。

（二）代数式求值与 “降次代换法”

代数式化简求值：通过已知等式（如\(2^m = a\)，\(32^n = b\)）推导目标代数式（如\(2^{3m+10n}\)），需将目标代数式变形为含已知条件的形式，利用幂的逆运算代入计算，体现 “整体代入” 思想。

“降次代换法” 应用：针对高次方程（如\(x^2 + x - 15 = 0\)、\(x^2 + 5x + 1 = 0\)），将二次项表示为一次项形式（如\(x^2 = 15 - x\)、\(x^2 = -5x - 1\)），代入高次代数式（如\((x + 4)(x - 3)\)、\(x(x^2 + 5x) + (x + 7)(x - 1)\)）降低次数，再化简计算，解决高次代数式求值问题，考查代数变形与转化能力。

二、几何板块

（一）三角形基础性质

三边关系：判断三根小木棒能否构成三角形（如 “2cm，3cm，5cm” 因\(2 + 3 = 5\)不能构成；“3cm，3cm，4cm” 因\(3 + 3 > 4\)可构成），核心是 “三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，是三角形存在性的基本判断依据。

内角和与外角性质：

内角和：如考古问题中，已知\(\angle DBA = 120^\circ\)，\(\angle ECA = 135^\circ\)，先求\(\angle ABC = 60^\circ\)、\(\angle ACB = 45^\circ\)，再由内角和\(180^\circ\)得\(\angle A = 75^\circ\)，考查邻补角与内角和的结合应用。

外角性质：如折叠问题中，\(\triangle ABC\)沿CD折叠，\(\angle B = \angle CB'D\)，利用 “外角等于不相邻两内角和”（\(\angle CB'D = \angle ADB' + \angle A\)），结合\(\angle ADB' = 18^\circ\)、\(\angle B = 90^\circ - \angle A\)，推导\(\angle A = 36^\circ\)，体现折叠性质与外角定理的综合。

等腰三角形与等边三角形：

等腰三角形顶角计算：已知一个外角为\(100^\circ\)，分 “外角为顶角的外角”（顶角\(80^\circ\)）和 “外角为底角的外角”（底角\(80^\circ\)，顶角\(20^\circ\)）两种情况，考查分类讨论思想。

等边三角形判定与性质：如含\(30^\circ\)角的直角三角板与平行线结合问题，由\(l_1 \parallel l_2\)得\(\angle CDB = 60^\circ\)，结合\(\angle CBD = 60^\circ\)，判定\(\triangle BCD\)为等边三角形，进而得\(CD = BD\)、\(\angle BCD = 60^\circ\)，再推导\(AD = CD\)，考查等边三角形的判定（两角为\(60^\circ\)）与性质（三边相等、三角为\(60^\circ\)）。

（二）全等三角形

全等判定定理：包括 SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）、HL（直角三角形斜边直角边），如：

第 16 题，已知\(\angle B = \angle D\)、\(\angle AOB = \angle COD\)，添加\(OB = OD\)，用 ASA 判定\(\triangle AOB \cong \triangle COD\)；

第 29 题，由\(AB \perp BD\)、\(DE \perp BD\)得\(\angle ABC = \angle CDE = 90^\circ\)，由\(AC \perp CE\)得\(\angle ACB = \angle CED\)，结合\(BC = DE\)，用 ASA 判定\(\triangle ABC \cong \triangle CDE\)，进而得\(AB = CD\)；

第 13 题，\(\angle BAC = 90^\circ\)，\(BD \perp AE\)、\(CE \perp AE\)，得\(\angle ABD = \angle CAE\)，结合\(AB = AC\)，用 AAS 判定\(\triangle ABD \cong \triangle CAE\)，得\(AE = BD\)、\(AD = CE\)，进而求\(DE = 4\)。

全等应用：通过证明三角形全等推导线段相等（如\(AB = CD\)、\(AE = AF\)）或角相等（如\(\angle 1 = \angle 2\)），是几何证明的核心工具，需准确识别全等条件，构建逻辑链（如 “垂直→直角相等→角互余→角相等→全等→结论”）。

（三）三角形中的特殊线与点

特殊线：

高线：判断三角形的高（如第 4 题，线段BD为\(\triangle ABC\)的高），需明确 “从三角形一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段为高”；

垂直平分线：性质为 “垂直平分线上的点到线段两端距离相等”，如第 20 题，DE是BC的垂直平分线，得\(BD = CD\)，故\(\triangle ABD\)的周长\(= AB + AC = 21\)；第 5 题，体育中心P到A、B、C距离相等，故P是三边垂直平分线的交点（外心）。

角平分线：性质为 “角平分线上的点到角两边距离相等”，逆性质为 “到角两边距离相等的点在角平分线上”，如第 17 题，\(PD \perp OA\)、\(PE \perp OB\)，当\(PE = PD = 7cm\)时，P在\(\angle AOB\)的平分线上；第 30 题，AD平分\(\angle BAC\)，\(DE \perp AB\)、\(DF \perp AC\)，得\(DE = DF\)，进而证明\(\triangle AED \cong \triangle AFD\)，得\(AE = AF\)。

特殊点：外心（三边垂直平分线交点，到三顶点距离相等）、内心（角平分线交点，到三边距离相等）、重心（中线交点，分中线比为\(2:1\)）、垂心（高线交点），需结合实际问题（如体育中心选址、角平分线判定）准确区分各点性质。

（四）轴对称与坐标变换

轴对称图形判定：根据 “沿一条直线折叠后，直线两旁部分能完全重合” 判断图形是否为轴对称图形，如第 2 题，蝴蝶曲线、笛卡尔心形线、科赫曲线为轴对称图形，费马螺线不是，考查轴对称图形的定义理解。

平面直角坐标系中的对称：

关于 x 轴对称：点\((x, y)\)对称后为\((x, -y)\)，如第 26 题，\(\triangle ABC\)关于 x 轴对称的\(\triangle A_1BC_1\)，顶点\(C(4, 4)\)对称后为\(C_1(4, -4)\)；

关于 y 轴对称：点\((x, y)\)对称后为\((-x, y)\)，如第 11 题，飞机\(E(40, a)\)与D关于 y 轴对称，故\(D(-40, a)\)。

最短路径与周长最小问题：如第 22 题，四边形ABCD中，\(\angle B = \angle D = 90^\circ\)，\(\angle BAD = 120^\circ\)，延长AB至E使\(BE = AB\)，延长AD至F使\(DF = AD\)，连接EF交BC、CD于M、N，此时\(\triangle AMN\)周长最小，利用 “轴对称转化” 将周长最小问题转化为 “两点之间线段最短”，再结合全等三角形与内角和推导\(\angle AMN + \angle ANM = 120^\circ\)。

（五）尺规作图

基础作图：包括作角平分线、线段垂直平分线，如第 25 题，作\(\angle AOB\)的角平分线和线段MN的垂直平分线，交于点P，需掌握尺规作图的基本步骤（以定点为圆心、定长为半径画弧，找交点），并能结合性质证明（如P在MN垂直平分线上得\(MP = NP\)，在\(\angle AOB\)平分线上得\(PC = PD\)，用 HL 证明\(Rt\triangle PCM \cong Rt\triangle PDN\)，得\(MC = ND\)）。

作图痕迹分析：如第 12 题，根据尺规作图痕迹判断结论，DF垂直平分AB得\(AF = BF\)、\(DF \perp AB\)，结合BE平分\(\angle ABC\)得\(\angle AFD + \angle FBC = 90^\circ\)，但无法判断\(\angle BAF = \angle CAF\)，考查作图痕迹与图形性质的关联。

三、综合与拓展板块

（一）几何综合题

如第 32 题，\(\angle ACB = 90^\circ\)，\(DC = BC\)，\(AE = AB\)，（1）证明\(\triangle ADP \cong \triangle AEQ\)得\(AP = AQ\)；（2）当\(\angle BAE = 60^\circ\)时，截取\(QE = PD\)，证明\(\triangle APQ\)为等边三角形，得\(PE = PA + PD\)，综合考查全等三角形、等腰三角形、等边三角形的性质与判定，需构建辅助线（截取线段），整合多个知识点解题。

（二）实际应用与规律探究

正多边形外角和应用：如第 8 题，小华每次前进 5 米后右转\(20^\circ\)，回到出发点时形成正多边形，由外角和\(360^\circ\)得边数\(n = 18\)，总路程\(18×5 = 90\)米，考查正多边形外角和（\(360^\circ\)）与实际行走轨迹的结合。

等腰三角形存在性问题：如第 15 题，线段AB的端点B在直线m上，找直线m上使\(\triangle ABC\)为等腰三角形的点C，分 “\(BA = AC\)”“\(BC = BA\)”“\(BF = AF\)”（F在AB垂直平分线上）三种情况，共 4 个点，考查等腰三角形定义与分类讨论思想。

（三）图形折叠与角度计算

如第 21 题，\(\triangle ABC\)中\(\angle ACB = 90^\circ\)，沿CD折叠B至AC上的\(B'\)，得\(\angle B = \angle CB'D\)、\(\angle BCD = \angle B'CD = 45^\circ\)，结合外角性质\(\angle CB'D = \angle ADB' + \angle A\)，推导\(\angle A = 36^\circ\)，考查折叠的性质（对应角相等、对应边相等）与角度关系推导。

来源：嘉晴教育分享