摘要：平方根：若\(x^2=a\)（\(a\geq0\)），则\(x=\pm\sqrt{a}\)，正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是 0，负数没有平方根（如\(\pm\sqrt{64}=\pm8\)）。算术平方根：正数a的正的平方根记为\(\sqrt{a}

一、数与代数

（一）实数

立方根：若\(x^3=a\)，则x是a的立方根，正数的立方根是正数（如 8 的立方根是 2），负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。

平方根与算术平方根

平方根：若\(x^2=a\)（\(a\geq0\)），则\(x=\pm\sqrt{a}\)，正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是 0，负数没有平方根（如\(\pm\sqrt{64}=\pm8\)）。

算术平方根：正数a的正的平方根记为\(\sqrt{a}\)，\(\sqrt{a}\geq0\)（如\(\sqrt{4}=2\)，\(\sqrt{(-1)^2}=1\)）。

无理数与有理数

无理数：无限不循环小数（如\(\frac{\pi}{2}\)、\(\sqrt{6}\)、2.1212212221……（每相邻两个 1 之间依次多一个 2））。

有理数：整数（正整数、0、负整数）和分数的统称（如\(-4\)、\(\frac{2}{7}\)、0、3.14）。

实数大小比较：可通过平方法（如比较\(2\sqrt{6}\)与 5，计算\((2\sqrt{6})^2=24\)，\(5^2=25\)，得\(2\sqrt{6}

无理数估算：确定无理数所在的整数区间（如\(\sqrt{16}

（二）二次根式

二次根式有意义的条件：被开方数是非负数（如\(\sqrt{x-3}\)有意义，则\(x-3\geq0\)，即\(x\geq3\)）。

最简二次根式：被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

同类二次根式：几个最简二次根式的被开方数相同（如最简二次根式\(\sqrt{4-2m}\)与\(\sqrt{6}\)是同类二次根式，则\(4-2m=6\)，解得\(m=-1\)）。

二次根式的运算

加减：先将二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式（如\(\sqrt{27}-6\sqrt{\frac{1}{3}}+\sqrt{8}=3\sqrt{3}-2\sqrt{3}+2\sqrt{2}=\sqrt{3}+2\sqrt{2}\)）。

乘除：\(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)），\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)）；可结合平方差公式（如\((2\sqrt{3}+1)(2\sqrt{3}-1)=(2\sqrt{3})^2-1^2=12-1=11\)）、单项式乘多项式（如\(\sqrt{6}(\sqrt{8}-\sqrt{2})=\sqrt{48}-\sqrt{12}=4\sqrt{3}-2\sqrt{3}=2\sqrt{3}\)）运算。

（三）代数式求值与分式

代数式求值：可通过配方（如已知\(x=\sqrt{3}+2\)，求\(x^2-4x+5\)，配方得\((x-2)^2+1\)，代入得\((\sqrt{3})^2+1=4\)）、整体代入等方法计算。

分式化简与求值：先算括号内，再将除法化为乘法，分解因式后约分（如\(\frac{x-1}{x^2+2x+1}\div(1-\frac{2}{x+1})=\frac{x-1}{(x+1)^2}\cdot\frac{x+1}{x-1}=\frac{1}{x+1}\)，代入\(x=\sqrt{5}-1\)得\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)）。

（四）方程

分式方程：分母含未知数的方程，求解步骤为去分母化为整式方程、解整式方程、检验（如解方程\(\frac{1}{2x-6}+\frac{1}{x}=0\)，去分母得\(x+2x-6=0\)，解得\(x=2\)，检验得\(x=2\)是原方程的解）。

实际应用方程：根据实际问题列方程（如工程问题，设原来每天修建道路x米，根据 “修建 600 米的时间 + 修建剩余道路的时间 = 15 天” 列方程\(\frac{600}{x}+\frac{5400-600}{2x}=15\)，解得\(x=200\)）。

二、图形与几何

（一）图形的性质

等边三角形：三边相等，三角均为\(60^{\circ}\)，角平分线、中线、高重合（如\(\triangle ABC\)为等边三角形，BD平分\(\angle ABC\)，则\(AD=CD=\frac{1}{2}AC\)）。

等腰三角形：等边对等角，等角对等边（如\(\triangle DBC\)中，\(\angle BCD=\angle B\)，则\(DC=DB\)）。

直角三角形：两锐角互余（如\(\angle ACB=90^{\circ}\)，则\(\angle B=90^{\circ}-\angle A\)）；勾股定理：直角边的平方和等于斜边的平方（如直角边为 1 和\(\sqrt{3}\)，斜边为 2，满足\(1^2+(\sqrt{3})^2=2^2\)）；勾股定理逆定理：若三角形三边满足\(a^2+b^2=c^2\)，则为直角三角形（如\(\triangle ACD\)中，\(AD^2+AC^2=CD^2\)，则\(\triangle ACD\)是直角三角形）。

线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（如MN是AC的垂直平分线，D在MN上，则\(DC=DA\)）。

角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等（如EA平分\(\angle DEF\)，\(BE\perp AC\)，\(DE\perp AD\)，则\(AF=AD\)，\(ED=EF\)）。

（二）图形的判定

全等三角形判定

SSS（三边分别相等）：如尺规作角平分线时，\(OC=OD\)，\(CM=DM\)，\(OM=OM\)，则\(\triangle OMC\cong\triangle OMD\)。

SAS（两边及其夹角分别相等）：如\(\triangle ABC\)和\(\triangle EDF\)中，\(AB=DE\)，\(\angle CAB=\angle FED\)，\(AC=EF\)，则\(\triangle ABC\cong\triangle EDF\)。

HL（直角三角形斜边和一条直角边分别相等）：如\(Rt\triangle ABF\)和\(Rt\triangle ACD\)中，\(AB=AC\)，\(AF=AD\)，则\(\triangle ABF\cong\triangle ACD\)。

正方形判定：有一个角是直角的菱形是正方形（如四边形EFGH中，\(\angle EHG=\angle HEF=\angle FGH=90^{\circ}\)，\(GH=GF\)，则EFGH是正方形）。

（三）尺规作图

作角平分线：以角的顶点为圆心画弧交两边于两点，再分别以两点为圆心画弧交于角内部一点，连接顶点与交点得角平分线。

作线段垂直平分线：分别以线段两端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧交于两点，连接两点得垂直平分线；可利用垂直平分线性质分割直角三角形为两个等腰三角形。

作平行线：在网格中可利用平移性质作图（如画\(CD\parallel AB\)且\(CD=AB\)）。

三、统计与概率

事件类型

必然事件：一定会发生的事件（如从 1 个黑球、2 个白球中摸 2 个球，摸出的 2 个球中有白球）。

不可能事件：一定不会发生的事件（如摸出的 2 个球都是黑球）。

随机事件：可能发生也可能不发生的事件（如摸出的 2 个球中有黑球、摸出的 2 个球都是白球）。

概率计算：概率\(P(A)=\frac{事件A包含的可能结果数}{所有可能结果总数}\)（如从 8 张卡片中摸 “小寒” 卡片，\(P=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)）。

四、数学思想与方法

数形结合思想：如利用网格和勾股定理计算线段长度（如\(AD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)）、判断三角形形状。

转化思想：如将分式方程化为整式方程求解、将代数式配方转化为完全平方式求值。

分类讨论思想：在几何图形判定与性质中可能用到（如判断线段位置关系、角度关系）。

构造法：如延长线段构造全等三角形（如延长AF到M使\(MF=AF\)，构造\(\triangle AFC\cong\triangle MFE\)）。

公式法：如利用完全平方公式\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)推导不等式\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)（\(a>0\)，\(b>0\)），并用于求最值（如求\(4x+\frac{1}{x}\)最小值为 4，\(y=\frac{x^2+4x+9}{x+2}\)最小值为\(2\sqrt{5}\)）。

来源：零基础学英语口语