摘要：现在小学、中学和大学都在搞数学改革，一个主要目的是培养创新人才。培养创新人才我们大学老师当然责无旁贷，要贡献最大力量。但是我认为，应当从高中甚至初中开始注意这一点。创新能力的培养不是突然就可以成功的，是艰苦的、扎扎实实的过程。这种教材写法、教学方式都有关系。
现在小学、中学和大学都在搞数学改革，一个主要目的是培养创新人才。培养创新人才我们大学老师当然责无旁贷，要贡献最大力量。但是我认为，应当从高中甚至初中开始注意这一点。创新能力的培养不是突然就可以成功的，是艰苦的、扎扎实实的过程。这种教材写法、教学方式都有关系。 我们写教材时讲课时，不仅要传授数学知识，还应该有意识地培养科学的思维方式。 这种科学的思维方式在数学这门学科里就可以说是数学的思维方式。我今天主要围绕数学思维方式来展开。我今天不会先给定义。我觉得我们数学教学不应该先给定义再举例子。我本人是研究群论的，所以主要从代数学角度来谈，从代数学的发展中举几个例子来谈。基础数学和应用数学两方面将各举一个例子。伽罗瓦的例子大家都熟悉，我今天换个例子来谈。
飞机、轮船的航行中有速度、有位移，从中我们可以抽象出向量的概念。既有大小、又有方向的量称为向量。那么怎么研究呢，首先可以用几何的办法，方向用一个箭头表示，大小用线段的长度表示，就这样用有向线段表示向量。方向相同，且长度相等的有向线段表示相等的向量。我们把空间向量组成一个集合 。这就引入了向量的加法运算，并研究其运算法则：交换律、结合律、有零向量，每个向量有负向量。车辆的速度可以加快几倍，这就引入了数乘向量的运算。数乘向量满足4条运算法则，其中， 表明向量的加法与数乘这两种运算是相容的。为了解决度量问题，引入内积的概念。两个向量的内积规定为这两个向量长度的乘积乘以夹角的余弦。内积是一个对称的二元函数，具有正定性和双线性性。注意，内积是一个函数，而不是向量的运算。从物理里受到启发，可以对向量引入类似乘法的运算。例如根据起跑的石头，作用力是一个向量，支撑点到作用点的有向线段，也是一个向量，由这两个向量产生了力矩这个向量。这就可以引入向量的外积概念，这是向量的第三种运算。两个向量的外积仍然是一个向量，它的长度规定为这两个向量长度的乘积乘以夹角的正弦，这从力矩可以看出。外积的方向与这两个向量垂直，形成一个右手系。向量的外积遵从反交换律，和数乘加法也是相容的，分别表现在： ， ， 。数的乘法有结合律，向量的外积却不满足结合律，而满足Jacobi恒等式： 。向量的外积既不满足交换律，又不满足结合律，有的人就不太喜欢它，称之为原向量。如果认为它与一般的不同，就觉得没有几何以外的用途，不去研究，那就不利于创新。恪守传统的思维方式是不利的。
是不是只有向量的外积既不满足交换律，又不满足结合律，而满足反交换律和Jacobi恒等式呢?让我们再看另外一个例子.考虑数域 上所有 级矩阵组成的集合.这个集合有加法、数乘和乘法三种运算.矩阵乘法不满足交换律,然而,我们很自然的 研究矩阵 ,称为 的换位子,记作 .这样我们可以诱导出换位运算: .数域 上 级矩阵的集合 对于加法、数乘和乘法构成域 上的一个代数,这是大家熟知的.我今天主要讲矩阵的加法、数乘和换位运算这三种.我们看看换位运算满足的运算规律.容易证明它满足反交换律: .还可以证明它和加法、数乘也是相容的,即 , 和 .它不满足结合律,但是可以证明它满足Jacobi恒等式: .
这就可见绝非偶然.两个完全不同的领域的东西,却有相同的运算规律.这就可以从中抽象出一个代数结构.如果一个非空集合 有加法、数乘和换位运算,并且加法和数乘满足8条运算法则,换位运算满足4条运算法则;反交换律、分配律、与数乘相容、Jacobi恒等式,那么称 为李代数.当然换位运算的具体定义要依情况而定.这个代数结构是由数学家Sophus Lie最先提出的.这个代数结构和我们熟知的代数结构是不同的,后人就以Lie的名字来命名.这样的代数结构并不是完全得到的,而是为了研究Lie群而建立的.Lie群也不是凭空0000建立的,它在物理上有重要应用.可见数学创新都是有背景的.
今天我这样讲李代数概念的提出,大家都能接受.如果一开始就直接给出定义,除了少数人,肯定接受不了.现在讲了向量的外积以及矩阵乘法的非交换性的背景之后,我想大家都能基本理解Lie代数这个概念了.当然不是要让老师们研究Lie代数,我只是回顾一下历史,说明数学的思维方式在创新中起了很重要的作用.我们以前那种直接给定义的讲法,只适用于少部分特别喜欢数学的学生.但是绝大多数学生是不习惯这样的.所以编写教材和授课都要按照从观察客观现象,抓住主要特征,抽象出概念这种数学思维方式来进行,学生才容易学.关于基础数学的创新,今天我就给这个Lie代数的例子.
我再讲个应用数学的例子.现在需要交流大量信息,也需要对信息保密.怎么进行加密?首先把26个英文字母分别对应到 .由于无线电传播时,工程上容易实现的是两种状态,就需要转换为二进制.这样信息就可以用0和1组成的序列来表示.如果直接发送出去,一旦被人截获,信息就会泄露,因而加密是需要的.最简单的方式是采用密钥.将密钥序列与信息(明文序列)相加,就可以得到密文序列.序列中只有0,1两个符号,此时做加法需要把序列中的0看作偶数集 ,把1看成奇数集 .这样就可以合理的规定 ,因为奇数与偶数相加得奇数,奇数与奇数相加得偶数. 和 都称为模2剩余类,它们组成的集合有加法运算;还可以类似地定义乘法运算.有加法就有减法;由于非零元有逆,有乘法就有除法.这样就有了四则运算.于是类似于数域,就可以提出有限域的概念.序列中的0可以看作 ,1可以看作 ,如此进行明文序列与密钥序列的加法.产生的密文序列发之后,对手就无法得知信息内容,而合法的接受者再将密文序列与密钥序列相加,就可以恢复明文序列,从而得到信息内容.密钥的构造也是需要研究的,因为需要防止对手破译.如何保证密钥不被破解?随机序列绝对不会被破解,但是合法接受者也无法知道用随机序列作成的密钥,因而是不行的.但我们可以采取伪随机序列作为密钥,只要有一定长度,这种密钥就不容易被对手破译.如何构造伪随机序列?这需要用到有限域的知识.可见有限域在密码中是重要的,而它是代数学中的重要研究对象.有限域的提出,也是数学中的一个创新.
上面讲的Lie代数和有限域的两个例子,表明数学的思维方式在创新中起重要作用. 什么是数学的思维方式?我把它概括成:观察客观现象,从中抓住主要特征,抽象出概念或建立模型;然后进行探索,探索时常用的是直觉判断、归纳、类比和联想;探索后可以做出某种猜想,但是需要证明,这要进行深入分析.逻辑推理和计算,往往要付出艰辛的努力;之后才可以揭示出事物的内在规律.这就是数学思维方式的全过程. 客观现象纷繁复杂,而内在规律却井然有序,这体现了数学思维方式的成力.我们编写教材,讲课要遵循数学的思维方式,学生才能学得更好,而且可以使学生终身受益.
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