摘要：你如果踢开MN这个中间商，买方和卖方(FM和DN)还真说不上话。
本文详细解析一道中考抛物线动、点最值、二倍角综合压轴大题。
第三问要求每种情形都要有三种解法。
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如图，抛物线y1＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OC＝OA，AB＝4，对称轴为直线l1：x＝－1，将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2，抛物线y2与y轴交于点D，顶点为E，对称轴为直线l2。(1)分别求抛物线y1和y2的表达式；(2)如图1，点F的坐标为(－6，0)，动点M在直线l1上，过点M作MN//x轴与直线l2交于点N，连接FMDN，求FM＋MN＋DN的最小值；
附图1
(3)如图2，点H的坐标为(0，－2)，动点P在抛物线y2上，试探究是否存在这样的点P，使∠PEH＝2∠DHE？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由(每种情形都要提供3种思路)。附图2
第一问：y1＝－x2－2x＋3，y2＝x2－2x－3。详细过程从略。第二问求FM＋MN＋DN的最小值：
显然MN＝2长度固定。
但，你如果踢开MN这个中间商，买方和卖方(FM和DN)还真说不上话。
凭经验，凡牵涉到固定线段，注意平移。利用平行四边形性质。
说到底，就是根据固定线段进行的平移。
本题，根据MN＝2，将点F(－6，0)向右平移2个单位长度至F'(－4，0)处，则四边形FMNF'为平行四边形。
第二问详细解析随时附图
这就把FM转化为F'N了。这时才可以撇开固定线段MN，求F'N＋DN的最小值。
凡是求动点、两线段之和最小值，通常用到三角形“两边之和大于第三边”，转化为三点共线。
只要作出点D(0，－3)关于l2：x＝1的对称点D'(2，－3)，无论动点N怎么晃动，恒有DN＝D'N。无论动点N怎么晃动，恒有DN＝D'N。
这时F'和D'均为固定点。求F'N＋D'N的最小值，只需l2上的动点N在线段F'D'上即可。过点D'作x轴的垂线，利用勾股定理可求得F'D'＝3√5。
故FM＋MN＋DN＝(FM＋DN)＋MN＝(F'N＋D'N)＋MN＞F'D'＋MN＝(3√5)＋2。
第二问您学会了吗？
2＝x2－2x－3。其它不予理会。最好自己另外画图。平时练就自己快速精准画图的本领。考场上别妄想使用几何画板。我发文坚持亲手画图。
所求的∠PEH，角的顶点E位于抛物线的最低点，故，所求的点P，既可能落在抛物线的右支上、也能落在抛物线的左支上。
要学会善于总结分情形讨论。
抛物线y22∥y轴，故内错角∠DHE＝∠2。而已知∠PEH＝2∠DHE＝2∠2，故∠3＝∠2＝∠DHE。
过点E作EG⊥y轴于点G，则EG＝1，HG＝2，故cot∠DHE＝HG:EG＝2。则cot∠3＝cot∠DHE＝2。
第三问情形一随时附图。
设射线(或线段)EP与x轴交于点K，则cot∠3＝2＝BE:BK，BE＝4，故BK＝2，则点K坐标为(3，0)。
而抛物线y2＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)与x轴的交点为(3，0)，即点K与所求的点P重合，故P(3，0)。第三问情形一之附图。
注：如上图，您也可过点H作x轴的平行线，交BE于点G，交EP于点R，设射线(或线段)EP与x轴交于点K，根据三角形中位线性质、等腰三角形性质，也能得出点K与所求的点P重合，故P(3，0)。无需用三角函数。
要敢于质疑、善于质疑。
有同学可能对以上两个思路颇有微词：你是否提前知道了点P是(3，0)？那请看第三个思路。
∵∠DHE＝∠2，∠PEH＝2∠DHE，∴∠3＝∠2，过点H作x轴的平行线，交EP于点R，则点R为点H关于l2(BE)的对称点，即R(2，－2)，易求得直线ER(EP)的解析式为y＝2x－6，与抛物线y2＝x2－2x－3联立，解得交点P横坐标为3，将x＝3代入抛物线解析式得y2＝0，故此时P(3，0)。第三问情形一解法三之附图。
要学会善于发散思维。
总体思路：求点P坐标，最好先求出点P所在的直线(下文中的直线EN)表达式，然后直线与抛物线联立，即可求得交点P的坐标。
第三问情形二随时附图。
求点N纵坐标的思路一：辅助线构造相似。
设线段HE的垂直平分线交y轴于点L，由H(0，－2)及E(1，－4)，可求得直线HE的表达式为y＝－2x－2。
第三问情形二的解法一详解，下接附图：
第三问情形二解法一之附图，详解待续：
第三问情形二的解法一收官。
第三问情形二解法一的思路并不复杂。
求点N纵坐标的思路二：辅助线构造等腰三角形、二倍角。
设直线PE与y轴交于点N，作HN的垂直平分线交y轴于点Q，交HE于点T，连接TN，则TN＝HT，∠4＝2∠DHE。已知∠PEH＝2∠DHE，则∠4＝∠PEH，故EN＝TN。
第三问情形二解法二之附图。
第三问情形二的解法二收官。
求出点N的坐标(0，－42/11)之后，结合点E(1，－4)，易求得直线直线EN的表达式为y＝(－2/11)x－(42/11)，与抛物线y2＝x2－2x－3联立，解得交点P坐标为(9/11，－480/121)。以下的思路三和思路四，不用求直线PE与y轴的交点N。
要学会善于总结多种解法。
第二问情形二的思路三：主要用到“求点关于直线的对称点的坐标”。
第三问情形二的解法三，下接附图：
求点关于直线对称点，初中感觉难否？
思路四：主要用到高中知识“二倍角的正切、两角和的正切”。辅助线一根也不用。
∠PEH＝2∠DHE算是已知条件。
设∠DHE＝θ，由H(0，－2)及E(1，－4)易知tanθ＝1/2。
这方法在高中属于雕虫小技尔。
第三问情形二的解法四，不用任何辅助线
第三问情形二的解法四。
作者简介
中共党员，高中教务主任，常年兼任高中数学、物理、化学等科目。中考数学命题组成员。
专注教育领域，持续发布中考、高考压轴大题的多角度原创详细权威解析，力求篇篇经典。从不照搬答案。
发布经典解析，从不照搬答案。
发文涉及科目主要有中高考数学、物理，偶尔也有英语、化学、作文。
整个高中，俺依然是您的良师益友。
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来源：烨霖教育