摘要：在350多年里，费马大定理一直是数学中最著名、最令人挫败的问题之一。它由17世纪的皮埃尔·德·费马提出。命题内容是：不存在正整数 a、b 和 c 使得方程 a 的 n 次方加上 b 的 n 次方等于 c 的 n 次方成立，其中 a、b、c 为正整数，n 为大于
在人类科学史上，总有一些惊心动魄的时刻：一道难题横亘数百年，却被某个天才一举攻破，从此名字与定理、方程紧紧相连...
安德鲁·怀尔斯与费马大定理。
在350多年里，费马大定理一直是数学中最著名、最令人挫败的问题之一。它由17世纪的皮埃尔·德·费马提出。命题内容是：不存在正整数 a、b 和 c 使得方程 a 的 n 次方加上 b 的 n 次方等于 c 的 n 次方成立，其中 a、b、c 为正整数，n 为大于 2 的整数。费马在他的《算术》一书的页边写下，他有一个真正奇妙的证明，但这个证明从未被找到。几个世纪以来，伟大的数学家们都尝试过，却都未能成功。直到1994年，安德鲁·怀尔斯经过七年秘密的研究，提出了一个完整的证明，运用了数论中的高级工具，包括模形式与椭圆曲线。他的解法联结起现代数学的整个分支，最终解决了一个困扰了数代人的谜团。
他的成就使他成为一位全球瞩目的数学名人。
卡尔·弗里德里希·高斯与十七边形作图
1796年，年仅19岁的卡尔·弗里德里希·高斯令数学界震惊，他证明了正十七边形（又称 heptadecagon）可以用尺规作图完成——自古希腊时代以来未曾有人做到过。高斯证明这种作图之所以可能，是因为 17 是一个费马素数。他展示了：当且仅当 n 是 2 的幂与若干互不相同的费马素数的乘积时，正 n 边形可以用尺和直尺作图。即 n = 2^k × p1 × p2 …，其中 k 和 s 是非负整数，每个 p_i 是互不相同的费马素数。当 n = 17 时，这一条件成立。
这一发现立即为卡尔·弗里德里希·高斯带来了声誉，并为他后来在《算术研究》中的工作奠定了基础，使他成为现代数学中的核心人物。
约瑟夫·傅里叶与傅里叶级数
约瑟夫·傅里叶通过提出：任何周期函数都可以表示为正弦与余弦的和，从而彻底革新了数学分析。这一思想源自他对固体中的热及热传导的研究。
周期函数 f(x) 的傅里叶级数定义为：
f(x) = a₀ / 2 + Σ（n = 1 → ∞）[ aₙ cos(nx) + bₙ sin(nx) ]
其中系数 aₙ 和 bₙ 决定了各个正弦波分量的贡献。
这一理念使得用简单波来表示复杂现象成为可能。尽管他的工作最初遭到批评，但他的研究方法最终成为物理学、工程学和信号处理的基础。如今，傅里叶理论在谐波分析、声学、数字成像和量子理论中都是必不可少的。
他的影响超越了纯粹数学，确立了他作为新时代分析学先驱的地位。
莱昂哈德·欧拉与柯尼斯堡七桥问题
18世纪时，柯尼斯堡是一座位于东普鲁士、后来并入德国的城市（1945年之后成为俄罗斯的加里宁格勒）。这座城市有七座桥横跨普雷格尔河，连接城市的不同区域。挑战在于：是否可能恰好走遍七座桥一次，而不重复经过任何一座？这个问题看似简单，却无人能够解决。
1736年，莱昂哈德·欧拉研究了这一问题，并证明它是不可解的。他的方法是将问题抽象为“顶点”和“边”，由此开创了图论。他给出的结论是：若要存在这样的遍历路径，则图中的每个顶点必须有偶数条边相连。而在柯尼斯堡七桥的情形下，这一条件不成立，因此问题无解。
欧拉不仅解决了这一具体问题，更引入了一种全新的数学思维方式——关于拓扑与网络结构的抽象化。他对柯尼斯堡七桥的解答，被视为图论的第一定理。图论后来成为数学、计算机科学及现代物流中的一个基础领域。
艾萨克·牛顿与万有引力定律
在17世纪，艾萨克·牛顿以一条统一的定律——万有引力定律——将天体运动与地面运动结合起来。
根据他的理论，宇宙中的每一个粒子都会吸引其他所有粒子，这种引力与它们的质量成正比，与它们之间距离的平方成反比。总结这一规律的公式是：
F = G × (m₁ × m₂) / r²
其中 F 为引力，m₁ 和 m₂ 为质量，r 为两者间的距离，G 为万有引力常数。
这一发现既解释了苹果的下落，也解释了行星的运行轨道，彻底革新了物理学，并确立了一种机械论的宇宙观。他的著作《自然哲学的数学原理》使牛顿成为科学史上划时代的人物，并奠定了经典物理学的基础。
约翰·纳什与纳什均衡
20世纪50年代，约翰·纳什以一个彻底改变经济学、生物学和社会科学的概念——纳什均衡——革新了博弈论。
纳什均衡描述的是这样一种局面：在所有参与者都保持其策略不变的情况下，任何一名参与者都无法通过单方面改变策略来提升自己的收益。
形式化地说：在一个包含 n 个参与者的博弈中，策略组 (S₁, S₂, …) 是一个纳什均衡，当且仅当对每个参与者 i 而言，Uᵢ 是其效用函数，Sᵢ* 是该参与者在均衡下的最优策略，而 Sᵢ 表示参与者 i 可以选择的任何其他替代策略，Sᵢ 的全集则表示 i 所有可能的策略集合。在此条件下，任何偏离均衡策略的行为都不会带来更大利益。
纳什均衡将理性行为形式化为战略系统中的一种平衡状态。他的研究在最初并未受到重视，但数十年后逐渐赢得全球认可，并最终在1994年获得诺贝尔经济学奖。他的人生经历后来被改编为电影《美丽心灵》，使他的名声远超学术界。
阿尔伯特·爱因斯坦与广义相对论
1915年，阿尔伯特·爱因斯坦发表了广义相对论，彻底革新了人类对空间、时间与引力的理解。
他不再将引力看作一种“力”，而是提出：大质量天体会使时空弯曲，而这种弯曲则决定了其他物体的运动轨迹。
爱因斯坦场方程表达了这一思想：
R_{μν} − ½ R g_{μν} + Λ g_{μν} = (8πG / c⁴) T_{μν}
其中，R_{μν} 为里奇张量，描述了特定方向上的时空曲率；R 为标量曲率；Λ 为宇宙学常数，用以解释宇宙的加速膨胀；g_{μν} 为度量张量；T_{μν} 为能量-动量张量；G 为引力常数；c 为光速。
这一理论预测了光在引力场中的偏折，1919年的日全食观测证实了这一现象。广义相对论不仅使爱因斯坦一举成为全球偶像，也成为现代物理学的根基之一。
詹姆斯·克拉克·麦克斯韦与麦克斯韦方程组
19世纪，詹姆斯·克拉克·麦克斯韦将电与磁统一进一个完整的数学框架之中。他提出了一组四个偏微分方程，描述了电场与磁场如何相互作用并在空间中传播：
电场的散度：∇·E = ρ / ε₀（电场的散度等于电荷密度除以真空介电常数）磁场的散度：∇·B = 0
（磁场没有源）电场的旋度：∇×E = − ∂B / ∂t
（电场的旋度等于磁场随时间变化率的负值）磁场的旋度：∇×B = μ₀ J + μ₀ ε₀ ∂E / ∂t
（磁场的旋度由电流密度和电场的变化率共同决定）
这些方程揭示了电场与磁场如何相互生成、相互作用。最重要的推论之一是：光是一种电磁波。
麦克斯韦方程组的影响深远，奠定了电磁理论的基础，并推动了无线电、电子学的发展，使麦克斯韦被誉为科学史上的伟大天才之一。
当然，这份名单远远不止于此。科学史上，还有许多悬而未决的难题，最终被攻克后让解题者一举成名。比如：
庞加莱猜想（Poincaré Conjecture） —— 2003 年由 格里戈里·佩雷尔曼（Grigori Perelman） 证明，成为千禧年七大难题中第一个也是唯一一个被攻克的；四色定理（Four Color Theorem） —— 1976 年 肯尼斯·阿佩尔（Kenneth Appel） 与 沃尔夫冈·黑肯（Wolfgang Haken） 借助计算机完成证明；素数定理（Prime Number Theorem） —— 1896 年由 雅克·阿达玛（Jacques Hadamard） 与 夏尔-让·德·拉·瓦莱-普桑（Charles-Jean de la Vallée Poussin） 各自独立证明；有限单群分类（Classification of Finite Simple Groups） —— 20 世纪经过数百位数学家协作，最终完成，被称为“数学的珠穆朗玛峰”；希尔伯特第七问题（Hilbert’s 7th Problem, 超越数理论） —— 1930 年代由 格尔丰德（Aleksandr Gelfond） 和 施奈德（Theodor Schneider） 独立解决，形成格尔丰德–施奈德定理；希尔伯特第十问题（Hilbert’s 10th Problem） —— 1970 年 尤里·马季亚谢维奇（Yuri Matiyasevich） 证明丢番图方程的算法不可判定性，给出最终答案；凯莱–汉密尔顿定理（Cayley–Hamilton Theorem） —— 最早由 凯莱（Arthur Cayley） 猜测，随后在 19 世纪被严格证明，成为线性代数核心工具；费舍尔不等式（Fischer’s Inequality） —— 20 世纪中叶在矩阵理论中被证明，推动了数值线性代数的发展；卡塔兰猜想（Catalan’s Conjecture） —— 1844 年提出，2002 年由 普雷代（Preda Mihăilescu） 解决，成为数论的一块丰碑；有限单群“怪物群”存在性 —— 1980 年代由 罗伯特·格里斯（Robert Griess） 构造出“怪物群”，解决了一个悬而未决的难题；角谷猜想（Kakutani’s Fixed Point Theorem 相关问题） —— 在 20 世纪中期由纳什和其他人解决，成为博弈论和经济学的基石。...
来源：老胡科学一点号