摘要："我承认，我自己的数学学习经历确实有些异于常人。然而，这篇文章并不是基于我个人的教育经历而写，我是基于几十年来与他人（本科生、研究生、博士、博士后、我的合作者和同事，听我讲座和演讲的听众，阅读我的论文、书籍和博客文章的读者，甚至我的孩子们和他们的同学，一些记者

"我承认，我自己的数学学习经历确实有些异于常人。然而，这篇文章并不是基于我个人的教育经历而写，我是基于几十年来与他人（本科生、研究生、博士、博士后、我的合作者和同事，听我讲座和演讲的听众，阅读我的论文、书籍和博客文章的读者，甚至我的孩子们和他们的同学，一些记者、社交聚会上的朋友和熟人等等人物）交流的经历，探讨出来的数学学习经验。"

原文来源：https://terrytao.wordpress.com/career-advice/

作者：陶哲轩

译者：戴童

掌握了数字后，你就不再只是读数字了，这就像读书时读到单词一样，你将读出数字的含义。

——哈罗德·杰宁，《管理》

本科生在学习数学时，通常非常看重成绩，而考试通常注重对技术和理论的记忆。学生不一定真正理解了概念，而考试对智力或直觉的要求也不太高。这其实无可厚非：在真正掌握数学之前，一个人必须练习一定量的理论和技巧，就像在能弹奏好一样乐器之前，你也需要大量练习一样。如此一来，你有多少与生俱来的数学天赋和直觉貌似并不重要，如果无法计算多维积分、使用矩阵方程、理解抽象定义或用归纳法正确地证明，那么你就不太可能玩得转高等数学。

然而，等过渡到研究生阶段时，你会发现数学的学习水平变得更高——更重要的是，你要真正开始“做数学”了。这需要你拥有更多的智力，仅依靠记忆和学习，或者复制现有论点或案例的能力，恐怕就不够了。通常，一个人得放弃或至少改一改自己在本科阶段的学习习惯。比起专注于考试成绩等人为标准，你更需要自我推动式的学习方法和实验经历，来加深自己对数学的理解。

值得注意的是，在个人学习中，即使是你给自己定下的衡量标准（比如记住定理和证明的数量或在资格考试中的解题速度）也不应该被过分强调，甚至因此牺牲实实在在掌握基础数学的机会，否则你会成为古德哈特定律（当一项措施变成了目标，它就不再是一个好措施了。）的牺牲品。这些标准只能用来粗略评估你对某个主题的理解程度，不应成为一个人学习的主要目标。

本科及以下学习阶段，数学课主要教授高度发达的、完善的数学理论，这些理论大多在几十年甚至几个世纪前就被制定了；而在研究生阶段，你将开始接触尖端的、“活生生”的东西，这些东西可能与你在本科阶段所熟知的内容大不相同（但更有趣）！然而，你也不能跳过本科阶段——在尝试飞行之前，你必须先学会走路。

每个银河系文明的历史大多会经历三个不同但可识别的阶段，即生存阶段、探索阶段和成熟阶段，也称为“怎么办”“为什么”和“在哪里”阶段。例如，第一阶段的特点是“我们怎么找东西吃？”，第二阶段的特点是“我们为什么吃东西？”，第三阶段的特点是“我们应该在哪里吃午饭？”。

——道格拉斯·亚当斯，《银河系漫游指南》

数学教育大致也可以分为三个阶段。

1.“不严格”阶段。在这个阶段，数学以非正式的、直观的方式出现，教学大多基于举例、模糊的概念和比比划划。例如，老师在讲微积分的时候通常会引入斜率、面积、变化率等概念。这个阶段的教学重点更多会放在计算上，而不是理论上。这个阶段一般要持续到本科的早期。

2.“严格”阶段。在这个阶段，学生会被教导要“正确”地做数学，必须以更精确和正式的方式工作和思考，比如用ε和δ重新做微积分。这一阶段的学习重点主要放在了理论上。人们希望能顺畅地使用抽象的数学对象，而不必过多关注这些对象的实际意义 。这个阶段通常是本科后期和研究生早期。

3.“后严格”阶段。在这个阶段，学生应当适应了自己所选研究领域的一切严格基础，准备重新审视和完善自己之前在本领域中初步形成的“不严格”的直觉。但这次，直觉得到了严格理论的坚定支撑。比如在这时，学生能通过与标量微积分的类比，或通过非正式、半严格地使用无穷小量、大 O 符号等，在矢量微积分中快速、准确地计算，并能在必要时，将所有此类计算转化为严格的论证。这一阶段学习强调的是应用、直觉和“大局观”，研究生后期及以后的学习阶段皆是如此。

众所周知，从第一阶段过渡到第二阶段是相当痛苦的，可怕的“证明问题”是许多数学本科生的噩梦。但从第二阶段过渡到第三阶段同样重要，不该被忽视。

当然，知道如何严格思考至关重要，因为这能让你避免许多常见错误，消除诸多误解。但遗憾的是，这也会引发一个意想不到的后果：“模糊”或“直观”的思维（如启发式推理、从例子中合理推断，或在与物理学等其他领域做比较时）会被鄙视为“不严谨”。很多时候，学生最终会摒弃自己最初的直觉，只能在形式层面上做数学，结果在数学学习的第二阶段就停滞不前了。除此之外，这还会影响一个人阅读数学论文的能力。在论文中遇到哪怕是一个小小的打字错误或歧义时，僵硬的思维方式也会导致“编译错误”——像计算机无法理解和执行代码一样被卡住。。

严格，不是为了摧毁一切直觉，它应该被用来摧毁“错误”的直觉，同时澄清和优化“正确”的直觉。只有把严格的形式和正确的直觉结合在一起，我们才能解决复杂的数学问题：前者用于正确处理细微之处，后者用于正确把握大局；缺少任何一个，你都将在黑暗中摸索很久（就算你的想法可能具有启发性，但效率极低）。因此，一旦完全适应了严格的数学思维，你就该重新审视自己的直觉，并用新的思维能力来测试和完善这些直觉，而不是急着摒弃它们。想做到这一点，一个办法是问自己一些愚蠢的问题；另一个办法是反复学习自己的领域。

数学家想达到的理想状态是，每一个启发式论证都能自然地引出与其对应的严格论证，反之亦然。如此一来，你就能同时运用大脑的左、右两半来解决数学问题，也就是用你在现实生活中惯用的解决问题的方式来解决数学问题。

值得一提的是，处于上述三个教育阶段的“数学家们”在数学写作中仍可能犯形式错误。而这些错误的性质也往往因写作者所处不同阶段而有所不同。

处于第一阶段的“数学家”经常犯形式错误，因为他们无法理解严格的数学形式在实际中是如何运作的，只会盲目地应用形式化规则或启发式方法。即使有人明确指出了这些错误，他们往往也很难理解和纠正。

处于第二阶段的“数学家”也可能犯形式错误，因为他们对形式化的理解尚未完善，或者，他们无法用足够合理的检查来与直觉或其他经验法则进行对照，从而捕捉符号错误等问题，或无法正确验证工具中的关键假设。然而，一旦这些错误被指出，他们通常可以进行检验（也可以修复）。

处于第三阶段的“数学家”也不是完美的，他们在写作中还可能犯形式错误，但这往往是因为他们不再需要形式化来进行高水平的数学推理，而主要依靠直觉，然后将这种直觉（可能不正确地）转化为形式化的数学语言。

这三种错误的区别可能导致一种现象（处于较早学习阶段的读者们往往为此感到十分困惑）：“后严格”阶段的数学家的论证也会出现许多打字错误或其他形式错误，但整体上，论证相当合理。局部错误在传播一段时间后会被其他局部错误抵消。相反，一旦“不严格”或“严格”阶段的“数学家”的论证中引入了一个错误，在没有被坚实的直觉检验的情况下，这个错误可能会被“疯传”，直到论证结束时，留下一个毫无意义的结论。

不要只是阅读，要与它斗争！提出自己的问题，寻找自己的例子，发现自己的证明。假设有必要吗？反之亦然吗？在经典的特例中会发生什么？退化的情况呢？证明在哪里使用了假设？

——保罗·哈尔莫斯，《我想做数学家》

在学习数学时，无论是阅读书本还是聆听讲座，你通常只看到了最终产品——对一个数学主题精致、聪慧而优雅的介绍。

然而你会发现，探究“新”数学的过程要混乱得多，一路上都在追求天真、徒劳、无趣的目标。

虽然人们很容易忽视这些“失败”的探究路线，但实际上，这些对于我们深入理解一个主题是必不可少的，通过排除法，我们终将把注意力集中在正确的前路上。

因此，你应该毫不畏惧地提出“愚蠢”的问题，挑战某主题相关的“传统智慧”。这些愚蠢的问题偶尔会引出一个令人惊讶的结论，但更多时候，它们会简单地告诉你：为什么会存在“传统智慧”？——这是非常值得了解的故事。

例如，针对某主题下的一个标准引理，你不妨想一想：如果去掉一个假设条件会发生什么？或者，强化其结论会如何？如果一个简单结果通常用方法X来证明，你可以探究一下，可否通过方法Y来证明。而新的证的明可能还不如原来的证明优雅，或者新证明根本行不通——无论是哪种情况，都有助于阐明方法X相对于方法Y的优势，这在证明非标准引理时可能会派上用场。

在听讲座时，提出“愚蠢”但具建设性的问题，会澄清讲座中的某些基本问题——这是完全被接受的行为。例如，论证中的陈述X是否暗示了陈述Y（或相反）？演讲者引入的术语是否与大家已知的类似术语有关？等等。如果不积极提问，你可能会在讲座中感到困惑。而且演讲者通常很欣赏这种反馈——这表明至少有一名听众在认真听讲啊！演讲者一般会抓住这个机会，向你和其他听众做出更好的解释。然而，那些不能立即升华讲座内容的问题，最好还是等讲座结束后再提出。

即便是相当优秀的学生，在找到问题的解决方案并整齐地写下论证过程后，也会合上书本去寻找其他事做。这样一来，他们会错过工作中一个重要而具启发性的阶段。……一位好老师应该理解并让学生深刻认识到，没有任何问题会被完全榨干。

老师的首要职责之一就是不要让学生们觉得数学问题之间是彼此孤立的，或与其他事物更是毫无关联的。当我们回顾问题的解决过程时，就会得到一个天然的机会去探究问题之间的联系。

——乔治·波利亚，《怎样解题》

在数学中，学习永远不会真正停止，即使在你所选的领域内也是如此。比如，我在写完关于基础调和分析的论文十多年后，仍在不断学习这一领域中令人惊讶的新知识。

即便知道基本引理X的陈述和证明，也不应想当然地接受这个引理；相反，你应该深入挖掘，直到真正理解这个引理的全部内涵。

l你能找到其他证明方法吗？

l如果这个引理有两种证明，你知道它们在多大程度上是等价的吗？它们的推广方式是否不同？它们有哪些共同的主题？相较之下，它们各自有哪些优、缺点？

在你的领域开展讲座、撰写笔记或其他阐述性材料，即使仅供个人使用，也特别有用。最终，你利用这类高效速记法内化了艰涩的结果，这不仅能让你毫不费力地运用这些结果，提高自己的能力，还能腾出思维空间去学习更多知识。

另一种深入了解自己领域的有效方法是选取本领域的一篇关键性论文，对该论文进行“引文搜索”，也就是说，搜索引用了这篇论文的其他论文。今天，你能找到很多工具来进行引文搜索，比如MathSciNet就提供了这一功能，甚至一般的搜索引擎经常也能提供你前所未知的有用的“靶子”。

学习的三大支柱：多见世面、多历磨难、多学知识。

——据说是本杰明·迪斯雷利所作“威尔士三题诗”

选择在不同于本科的学习机构攻读研究生，或者换个地方攻读博士学位，是一个非常好的主意。

就算是顶尖的数学系，也不可能在每个领域都具备优势，因此，能在多家数学系学习将拓宽你的视野，令你接触多种数学文化，见识现有专业领域之外的有趣工具和数学内容。此外，如果在不同的地方学习或工作过，你将有机会与更多同一领域的数学家长期交流，相比一直留在同一机构里，这种交流将对你的职业发展大有裨益——毕竟，一个人在某一领域的职业发展前景，在很大程度上取决于同行们的认可度。所以，这对你在数学领域的未来职业生涯来说非常有益。

此外，换地方学习将帮助你实现从本科生到研究生（你要迈过严格和证明的门槛）或从研究生到博士生（你要学会主动出击，而非完全依赖导师）的心理转变。虽然在转变期间，留在同一机构可能会让人感到舒适和便利，但这也可能会减慢个人的数学发展进程。

我们最好对“天才”和“灵感”这类概念保持警惕：它们就像魔杖，任何想看清事物本质的人都应该谨慎使用。

——何塞·奥特加·伊·加塞特，《小说笔记》

做数学一定要是天才吗？

答案是否定的。为数学做出有益的、实质性的贡献，一个人确实需要努力工作，深入了解自己的研究领域，学习其他领域和工具，提出问题，与其他数学家交流，并思考“大局”。当然，这个人还需要具备一定的智力、耐心和成熟性。但一个人并不需要某种神奇的“天才基因”，凭空捞出深刻的见解、出人意料的解决方案或其他超自然力。

传说中的孤独、可能还有点儿疯癫的天才无视文献或其他传统智慧，仅凭某种难以解释的灵感，或许还加上一点儿痛苦经历的点缀，就能想出一个让所有专家都困惑的、惊人的原创解决方案。这种形象虽然迷人又浪漫，但至少在现代数学世界里往往是不切实际的。当然，人类在数学领域确实取得了令人瞩目、深刻且非凡的成果，但这些都是多年来——甚至是几十年来，许多优秀和伟大的数学家凭借不懈的努力和稳步的进步累积下来的成就。

从一个阶段到下一个阶段的理解上的进步，可能卓越不凡，有时也相当出乎意料，但它仍是建立在先前工作的基础之上的，而不是完全从零开始的。例如，怀尔斯关于费马大定理的工作，或佩雷尔曼关于庞加莱猜想的工作就是如此。

实际上，我发现了当今数学研究的一个现实：进步是自然而然、累积性地通过努力工作、直觉引导、文献阅读和一点儿运气获得的。其实，这比我作为数学专业学生时所想象的——主要由稀有“天才”的神秘灵感推动了数学进步——更令人心满意足。这种“天才崇拜”引发了许多问题，因为没有人能定期地、可靠地、正确地产生这些非常罕见的灵感。如果有人声称自己能做到这一点，我建议你对他们的说法持怀疑态度。

试图以这种不可能的方式做数学，会产生无端的压力，可能会让一些人过分沉迷于“大问题”或“大理论”，而另一些人则会对自己的工作或工具失去“健康”“恰当”的怀疑态度，还有一些人甚至会因为过于沮丧而放弃继续数学工作。此外，将成功归因于先天的才能（这是无法控制的）而不是努力、规划和教育（这些是可以控制的），也会引发其他问题。

当然，即使我们摒弃了“天才”这一概念，在任何时代，仍会有一些数学家比其他数学家更快、更有经验、更有知识、更高效、更细心或更有创造力。然而，这并不意味着只有“顶尖”数学家才能做数学——这是将绝对优势与比较优势混淆的常见错误。

有趣的数学研究领域之广，问题数量之庞大，远远超出了顶级数学家所能包揽的范围。而且，你所掌握的工具或想法或许能挖掘出其他优秀数学家所忽视的东西，尤其，即使是最伟大的数学家在研究数学时，也难免存在弱点。只要你具备相关教育背景、兴趣和一定的才能，就会在数学的某个领域中做出坚实、有用的贡献。

你的成果或许不是数学中最引人注目的部分，但实际上，这往往是一桩好事——很多时候，一个主题的平凡细节其实比任何花哨的应用更重要。此外，在真正有机会解决一个著名问题之前，你有必要在众人的目光之外“磨尖自己的牙齿”——看看当今任何伟大数学家的早期出版作品，你会明白我的意思的。

在某些情况下，过多的天赋可能对一个人的长期数学发展有害——这有点反常识。比如，如果问题解决得太容易，一个人可能就放弃投入太多精力去努力工作、提出“愚蠢”的问题或扩大自己的探索范围，最终，这可能导致技能停滞不前。此外，如果习惯了“随随便便就能成功”，那一个人大概不会培养出应对真正的困难时所需的耐心。当然，天赋很重要，但更重要的是如何培养和激发它。

还要记住一点，专业数学研究不是一项“体育运动”——这与数学竞赛截然不同。做数学的目标不是获得最高的排名、最高的分数或最多的奖项、荣誉，而是增加对数学的理解（既是为了自己，也是为了同行和学生），并为数学的发展和应用做出贡献。为了完成这些任务，数学确实需要一切愿意投入的优秀人才。

上文转自图灵编辑部，【遇见数学】已获转发许可。

01

《陶哲轩教你学数学》

作者：陶哲轩 译者：李馨

菲尔兹奖得主陶哲轩数学思维大解析，通过奥数竞赛习题解答，带你领悟数学之美。

本书是国际知名数学家陶哲轩15岁时的著作，从青少年的角度分析数学问题，主要是数学竞赛等智力谜题，用学生的语言解释思考过程，完整展现了少年陶哲轩的解题思路。

02

《陶哲轩实分析（第3版）》

本书源自华裔天才数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩在加州大学洛杉矶分校教授实分析课程的讲义。

全书从分析的源头——数系的结构和集合论开始，然后引向分析基础，再进入幂级数、多元微分学和傅里叶分析，最后介绍勒贝格积分，几乎完全是以具体的实直线和欧几里得空间为背景，完美结合了严格性和直观性。

来源：遇见数学