摘要：代数几何是现代数学的基石，因为它与多个关键领域密切相关。但是你知道吗，没有六项重要发现，代数几何是不可能存在的？我们回到17世纪，从射影几何中的德沙格定理（Desargues' Theorem）开始，这是代数几何的根源所在。
代数几何是现代数学的基石，因为它与多个关键领域密切相关。但是你知道吗，没有六项重要发现，代数几何是不可能存在的？我们回到17世纪，从射影几何中的德沙格定理（Desargues' Theorem）开始，这是代数几何的根源所在。
要理解它，我们从画两个三角形开始。将第一个三角形的顶点标记为A、B和C，第二个三角形的顶点标记为A'、B'和C'。然后画线连接两个三角形对应的顶点，例如从A到A'，从B到B'，从C到C'。如果满足德沙格定理（即当两个三角形在一种特殊位置下称为“点透视”时），这些连线会相交于一点，称为“透视中心”，我们将其标记为P。
接下来，延长每个三角形的边，使其与另一个三角形对应的延长边相交。例如，延长AB与A'B'相交，延长BC与B'C'相交，延长CA与C'A'相交。根据该定理，这些交点P、Q和R将共线，形成一条直线，称为“透视轴”。
然而，射影几何的探索并未止步于此。大约30年后，帕斯卡的“六边形神秘定理”（Hexagrammum Mysticum）出现了，进一步揭示了圆锥曲线的性质以及点与线之间的关系。
为了理解这一点，画一个圆锥曲线（可以用圆作为简单示例），在其边界上选取六个不同的点，形成一个不一定规则的六边形，并将它们依次标记为A、B、C、D、E和F。从点A和B画一条线，再从点D和E画一条线，这两条线的交点标记为G。
同样，从点B和C画线，与点E和F画线的交点标记为K。最后，从点C和D画线，与点F和A画线的交点标记为H。根据帕斯卡定理，G、H和K总是共线，形成“帕斯卡线”。有趣的是，可以用60种不同的方式连接这些点，形成60条不同的帕斯卡线，而无论如何连接，帕斯卡线始终存在。
早期的几何概念缺乏严格的代数结构，因而需要更严谨的数学框架。这促使了消元理论的发展。消元理论本质上是简化数学表达的一种方法。例如，对于一条直线y=mx+b′和抛物线y=ax^2+bx+c，我们可以通过代入直线方程中的y值到抛物线方程中，并整理得到一个二次多项式方程来确定它们的交点。
通过这种方法可以得出一个通用的二次方程：
其中p=b−m，q=c−b′。通常我们会用二次公式来解这个方程，
而在17世纪中期，这种方法得到了笛卡尔的正式化。在更早期，数学家们会通过几何推理或手动因式分解来解决类似问题。
例如，如果判别式Δ=p^2−4aq为正，则存在实根，且存在交点；如果为零，直线与抛物线相切；如果为负，则不存在交点。假设数学家还没有判别式公式，他们可能会尝试手动因式分解，或者使用数值近似来估计根。例如，考虑y=x+1（一条直线）和y=x^2+2x+3y （一条抛物线）。将直线方程代入抛物线方程，
整理后得
通常我们会使用判别式公式，但如果没有判别式，数学家可能会通过配方法来解它。这种方法比之前的方法强大得多，用于计算也更高效，但依然计算密集且非常复杂。因此，在19世纪初，数学家试图推广解决多项式方程的方法，引出了抽象代数。
抽象代数的第一个也是最简单的类型是解代数方程，意思是找到使方程成立的x的值，这些值被称为方程的根。数学家们发现了二次方程的解法公式。当处理三次方程时，他们找到了一个相当长且复杂的公式,
到了四次方程时，更复杂的公式被发现。
到阿贝尔（Abel）和伽罗瓦（Galois）的时候，数学家们已经确立了使用根式（涉及根的表达式）解决二次、三次和四次方程的方法。然而，阿贝尔和伽罗瓦证明，一般的五次方程或五次以上的多项式不能通过这种方法求解。
阿贝尔和伽罗瓦通过引入伽罗瓦理论，揭示多项式的根与其对称性之间的关系。他们证明，五次及以上多项式的一般解的伽罗瓦群是对称群 Sn（n≥5），而 Sn 是不可解群，这意味着无法通过有限次的加、减、乘、除和开根号来分解这种对称性。因此，一般五次及以上多项式无法用根式求解。
抽象代数解决了许多理论问题，但没有解决几何直观性和可视化的问题，而这是理解解的结构所必需的。这就是双有理几何（birational geometry）的意义所在。
其中一个概念是立体投影（stereographic projection），这是一种将高维球面上的点映射到平面或直线上的方法。这种映射帮助我们将诸如圆这样的曲线对象的几何与直线这样的平面对象联系起来。考虑平面上的单位圆，其方程为x^2+z^2=1。
这个圆位于XZ平面上，以原点为中心，半径为1。在这个图中，有一个北极点，它是我们构造双有理映射的投影点。
现在选择圆上任意一点P，其坐标为x,z。从北极点N画一条穿过P的直线，延长这条直线直到它与X轴相交。点P'的坐标可以通过求解这条直线的方程与z=0的交点来确定。因此，圆上的点P可以通过一个公式映射到直线上的点P'。
从一个坐标为x′,0的点P'，我们可以反向投影找到对应于圆上的点P，其坐标为x,z,
这些是反向映射公式。立体投影表明，除了北极点外，圆上的每一点都可以映射到直线上的一个唯一的点，反之亦然。这种映射及其反映射由有理函数（分式形式）给出，因此圆与直线在代数几何中是双有理等价的。
然而，双有理几何缺乏分析复杂结构及高维曲面局部性质（尤其是拓扑和复杂解析性质）的工具，这就是黎曼曲面（Riemann surfaces）和拓扑学的意义所在。
在代数几何中，“吹胀”（blowing up）和“吹缩”（blowing down）是研究曲面时特别重要的操作。举例来说，我们有一个空间A^2，这是一个二维坐标平面，坐标为x,y。我们关注原点0,0。
在原点有一个点，从这个点可以画出无数条直线，每条直线都由一个斜率m=y/x定义。然而，当x=0时，斜率变得不可用，因为这会导致m=无穷大。
为了解决这个问题，我们需要“吹胀”原点。通过吹胀，我们用每条直线唯一对应的点替代了单一的原点，从而创造了一个射影直线P^1。通过这种方式，我们引入了射影坐标u,v，其中斜率m=u/v表示每条直线的斜率。
当然，这里还有大量的细节，但由于篇幅限制，无法全部涵盖。
来源：菜mm阿香姐