摘要：题目1：如图1，H为锐角△ABC的垂心，M为AH的中点，过点B作BD⊥CM，垂足为D。求证：A、B、H、D四点共圆。

题目1：如图1，H为锐角△ABC的垂心，M为AH的中点，过点B作BD⊥CM，垂足为D。求证：A、B、H、D四点共圆。

解题思路：欲证A、B、H、D四点共圆，先连接DA、DH、HB（图2），根据四点共圆的判定方法找到突破口，先想法证明∠DBH=∠DAH。

延长BH交AC于F，连接并延长CH交AB于E（垂心的常规辅助线），连接EM、ED，则CE⊥AB，BF⊥AC，∠BAH=∠BCE=∠AEM=α（垂心及直角三角形斜边中线性质）。

易证E、B、C、D和D、B、C、F四点共圆（B、E、D、F、C五点共圆），则∠FCD=∠FBD=ε，∠AED=∠BCD（圆内接四边形的外角等于内对角或三角形外角性质），易得∠MED=∠MCE=θ。

易证△MED∽△MCE（母子型相似），则ME2=MD·MC，即MA2=MD·MC，故△AMD∽△CMA，∠MAD=∠MCA=ε。

在四边形ABHD中，∠DBH=∠DAH=ε，故A、B、H、D四点共圆成立。

题目2：如图1，H为△ABC的垂心，L为BC边的中点，P为AH的中点，过L作PL的垂线交AB于G，交AC的延长线于K。求证：G、B、K、C四点共圆。

解题思路：本题欲证G、B、K、C四点共圆，如能证明∠BGK=∠BCK即可。

作△ABC的外接圆，连接HL并延长交圆于点D，连接DB、DC、DA、HC、HB，DA、GK相交于点E（图2），易证四边形BDCH为平行四边形（锐角三角形的垂心关于三边中点的对称点均在三角形的外接圆上，详见含三角形外心、垂心、底边中点等基本结构的几何题），L为HD的中点。

因CH⊥AB，故DB⊥AB，AD为圆的直径，DC⊥AC。

在△HAD中PL为中位线，故AD∥PL，因PL⊥GK，则AD⊥GK。

根据同弦对等角性质有∠BAD=∠BCD=α。

根据三角形外角性质，∠BGK=∠BAD+∠GEA=∠BAD+90°；

故∠BGK=∠BCK，G、B、K、C四点共圆得证。

来源：小蜗牛的梦