“永远”的备选方案——面积法

摘要：初中数学的面积法其实是个概述，并没有统一的规定，只要是利用图形面积关系的方法，皆可称面积法，正由于这个模糊不定的界定，它不如某些大名鼎鼎的方法那样容易被想到，一般会屈居幕后，耐心等待学生遍历其余方法，实在走投无路，才会想到它。

“永远”的备选方案——面积法

初中数学的面积法其实是个概述，并没有统一的规定，只要是利用图形面积关系的方法，皆可称面积法，正由于这个模糊不定的界定，它不如某些大名鼎鼎的方法那样容易被想到，一般会屈居幕后，耐心等待学生遍历其余方法，实在走投无路，才会想到它。

但是考场上时间有限，不允许学生遍历所有可能用到的方法，一旦初次选择有误，不能首发命中，极大概率是在复杂的计算中迷失，从而导致时间上的浪费。解决这种“想不到”的难题，一般也没什么灵丹妙药，老老实实积累解题经验就好。作为教师能做的事情，就是帮助学生在尽可能减轻负担的前提下，积累足够多的经验。

例1

已知:AB是⊙O的直径,OC⊥AB交⊙O于点C,点D是OB的中点,OB=4,点P是劣弧CB上的一个动点,点Q是线段CB上的一个动点,连接PC,PB,PQ,当△PCB面积最大时，求PQ+√10/10CQ的最小值.

解析：

典型的线段和最值问题，脱胎于“将军饮马”问题，基本思路是将它们转化到一条线段上；

虽然题目中有两个动点P和Q，但“当△PCB面积最大时”，点P已经确定，因此真正的动点其实只有一个；

对于△PCB而言，底边BC固定，所以在弧BC上找到一个点，使其到弦BC距离最远即可，我们可以较容易找到这个点就是弧BC中点P；

结论PQ+√10/10CQ中，PQ比较好办，哪条线段长是√10/10CQ，需要多观察图形，我们过点D作DE⊥BC，如下图：

由OC=OB=4，得OD=2，且∠DBE=45°，所以DE=√2=BE，CD=2√5，在Rt△CDE中，CE=3√2

，于是CD=√10DE，我们找到了符合要求的一组线段；

只要形状与△CDE相同，那么斜边一定是较短直角边的√10倍，就利用这个特征，我们来构造新的直角三角形，如下图：

过点Q作DG⊥CD，我们在新构造出的Rt△CDG中，可同样得到CQ=√10QG，即QG=√10/10CQ；

这样我们完成了前面的任务，找到了一条线段QG符合要求，现在可以完成转换了，我们只需要求出线段PG的最小值即可；

显然当PG⊥CD时，PG最小；

学生遇到的困难在于，如何求PG的长？

PG是一条垂线段，所以它的另一个身份，是某个三角形的高，我们连接PD、OP，如下图：

由此出发，考虑△CDP的面积，是从四边形ODPC中减掉△COD得到，而四边形ODPC的面积又可以由△COP和△ODP相加得到，如下图：

我们可证得OP是∠BOC角平分线，因此点P到边OB和OC的距离相等，且这两个距离分别是△ODP和△OCP的高，分别是2√2，而OD=2，OC=4，所以△ODP的面积是2√2，△OCP的面积是4√2，因此四边形ODPC的面积是6√2，而△COD的面积是4，所以△CDP的面积是6√2-4，我们可求得CD=2√5，最后得到PG=(6√10-4√5)/5.

例2

已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，点P是BC边上的一个动点.

(4)如图4，已知BC=4，若点P从点B出发向点C运动，过点B作BE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP于点F，设线段BE的长度为a，线段CF的长度为b，试求出点P在运动的过程中，a+b的最大值.