两动点最小值一题

摘要:如图,∠C=90°,AC=4,AB=12,AD平分∠BAC,DE⊥AD,P、Q是DE、BD上动点,求BP+PQ的最小值.

网友数学黄老湿推荐的一道八年两动点最小值题,号称巨难:

如图,∠C=90°,AC=4,AB=12,AD平分∠BAC,DE⊥AD,P、Q是DE、BD上动点,求BP+PQ的最小值.

分享一下我的思路和方法:

这道题是一道将军饮马题。

看下图,作B、Q关于DE的对称点(镜像点)B'、Q',连接DQ’B'。

再看下图,连接BQ’,

这时 BQ'≤BP+PQ’=BP+PQ。

注意到P在DE上移动,即P点最左只能到E点,Q在BD上移动,即Q’在B’D上移动,

当Q’移动到Q",BQ"⊥DB'于Q"时,BQ''最小,

连接AQ",

角AQ"D=90度=角C,

∴AQ”B三点一线(角BQ"D=90度,两角和180度),与AB重合,这时P位于E点上,

又 AD=AD,

AD平分角BAC,

∴△AQ"D≌△ACD,

AQ"=4,又有AB=12,

∴BP+PQ的最小值是12-4=8。

得解一一一一。

来源:骑着牦牛走天下

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