摘要:钱钟书《围城》:“因为在大学里,理科学生瞧不起文科学生,外国语文系学生瞧不起中国文学系学生,中国文学系学生瞧不起哲学系学生,哲学系学生瞧不起社会学系学生,社会学系学生瞧不起教育系学生,教育系学生没有谁可以给他们瞧不起了,只能瞧不起本系的先生。”
鲁迅《死》:“孩子长大,倘无才能,可寻点小事情过活,万不可去做空头文学家或美术家。”
莫言:假如有来生的话,我一定要学物理。
钱钟书《围城》:“因为在大学里,理科学生瞧不起文科学生,外国语文系学生瞧不起中国文学系学生,中国文学系学生瞧不起哲学系学生,哲学系学生瞧不起社会学系学生,社会学系学生瞧不起教育系学生,教育系学生没有谁可以给他们瞧不起了,只能瞧不起本系的先生。”
陈景润《回忆我的中学时代》:“我在中小学读书阶段,从成绩上看,并不显得特别好,但我总是踏踏实实地学好基础知识,从不计较分数。
我在福州英华中学读书时,那时学校分文、理两科,理科班侧重数、理、化,文科班侧重文、史、地。我很喜欢数学,可是当时我偏偏选读文科班,因为文科班数、理、化都比理科班浅,这样我就可以在不留级的前提下,集中最大精力去攻读高深的数学方面的书籍。我并不单纯地跟在数学老师后面跑,而擅长奇取。当时我经常到英华中学图书馆借书,其中有大学丛书《微积分学》,哈佛大学讲义《高等代数引论》,以及《赫克士大代数学》等。
我在厦门大学读书时,大学的书本是又大又厚,携带阅读十分不方便,我便把我国最著名的数学家华罗庚教授的《堆垒素数论》和《数论导引》拆成一页一页的,随身带,随时阅读。我坐着读,站着读,躺着读,蹲着也读,一直读到书本跟我走,书尸烂床边的程度。
一九四六年春天,我在福建省三明市第一中学读初二时考试成绩是:代数99分,国文92分,英文89分,几何83分,化学88分,历史83分,地理85分,图画85分,音乐85分,体育80分,生理卫生82分,劳作75分。成绩是画笔,勾画出我当时是一个活生生的孩子来。我能唱能跳,天真活泼,瞧,音乐85,体育80!当时我衣衫素净、惹人喜爱,生理卫生82嘛!我几十年死死抱住的“金娃娃”——数学,确是夙有姻缘,代数99呀!分数最低的是劳作,我那时一双小手可不巧。”
卡尔・B・波耶《微积分概念发展史》:“有一种强烈的诱惑吸引着职业数学家和科学家,他们总是企图将伟大的发现和发明归功于单个个人。就像为了阐述之便而将历史分为各个时期一样,在将注意力集中于该学科的某些基础方面时,这样的归属划分有助于达到教育目的。不过,在这种归属和划分中存在严重的危险——会拔高某些个人的重要性。很少——也许没有——单个的数学家或者科学家有资格接受一项“革新”的全部荣誉,也没有任何一个时代应该被称为某方面文化的“复兴”时代。在任何发现和发明背后,都必定能找到促使其产生的思想演化过程。微积分的历史就很好地说明了这一事实。
牛顿的流数法并不比他的运动定律和万有引力定律更加出人意料;莱布尼茨的微分就像他的连续性定律一样,早已有了全面的轮廓计划。这两个人被视为微积分的发明者是因为,他们给其前辈的无穷小算法提供了进一步发展所必需的算法统一性和精确性。他们的研究异于前辈巴罗(牛顿的老师)和费马相应方法之处,与其说在于实质和细节的差异,毋宁说在于态度和普遍性的差异。巴罗和费马的算法本身也是对诸如托里拆利、卡瓦列里和伽利略,或者开普勒、瓦莱里奥和斯蒂文等人的观点的精细阐述。无穷小方法的这些早期发明者的成就同样也是奥里斯姆、计算大师、阿基米德和欧多克斯所做贡献的直接结果。其中,欧多克斯的研究又受到亚里士多德、柏拉图、芝诺和毕达哥拉斯学派的数学和哲学问题启发。如果没有这些人以及其他许多人确立的思想渊源,牛顿和莱布尼茨的微积分将难以想象。
如果说,一方面数学家倾向于遗忘微积分兴起之前的启发与预想时期,那么,另一方面,该学科的历史学家则常常未能意识到后期严密阐述的重要性。对该学科的历史叙述终止于牛顿和莱布尼茨的研究,这样的叙述屡见不鲜,尽管这两个人都没能提供思想的精确性——这要等到两个世纪之后才能获得。忽视这后一阶段的研究表明,对柯西和魏尔斯特拉斯提出的微积分基本概念不够重视,或者不够理解。在上面经常提及而且可以成倍增加的参考书目中,其中表达的大多数观点都把微积分的最后详细阐述未经证实地归功于该领域的早期研究者。魏尔斯特拉斯对实数的定义被等同于欧多克斯的比例理论,戴德金分割则被等同于布赖森的猜测。康托尔的连续统被视为已经在奥卡姆的威廉或者芝诺的推测中表达过。魏尔斯特拉斯的极限概念被解释为与牛顿的最初比和最终比法甚至古希腊的穷竭法相同。柯西的导数和微分被描述成完全符合莱布尼茨的相关概 念。柯西的定积分被彻底归功于费马,甚至卡瓦列里和阿基米德。
这样的引证清楚地说明下面的倾向是多么普遍:即以自己对该学科的清晰思想不慎重地曲解早期研究者的观点,忘记了这些都是几个世纪的思考和研究所达到的顶点。数学和科学概念在其形成时经历了不同寻常的积累过程,它们是不断试图理解各种要素之间关系的努力成果,在这里,就是不断试图描述物理经验提供的混乱印象的努力成果。例如,16世纪的动力学和天文学并非完全是新的发展,而是由这两门学科的中世纪和古代的观点发展而成。同样,近代初期使用的无穷小概念也不是从头开始的,而是从经院派哲学家和希腊数学家研究中断的地方开始的。
不过,这种逐步累积成就的事实不应该被解释为展开一个构思巧妙的计划。在整个科学和数学发展过程中,不断抛弃或者增加要素。因此,没有研究者能够预见其观点的精细发展会通往什么方向。只有回顾历史才能追溯出这种发展是沿着什么路线前进的。尽管在追溯思想脉络时可以轻易认出最终的概念产生自什么观点,但是前者一般并不等于后者。应该根据它们各自所处时代的数学和科学背景来考虑。例如,如果根据20世纪的分析符号阐述阿基米德和巴罗的几何观点,就等于隐含地运用了现代符号法所提供的思想精确性和简洁性,而这是早期研究者完全不具备的。
数学和历史领域内的专业人员如果具有更加深刻和谐的理解力,也许就很容易消除有关数学概念的本质和兴起方面的错误思想。 不仅要熟悉微积分的基本原理,还要熟悉其发展历史,这将有助于弄清问题不在于谁是该学科的创始者——是魏尔斯特拉斯和柯西,或者牛顿和莱布尼茨,或者巴罗(牛顿的老师)和费马,或者卡瓦列里和开普勒,或者阿基米德和欧多克斯——问题是在什么意义下这些人的每一个可被认为对新分析有所贡献。”
张益唐:高斯不是神
陶哲轩《做数学一定要是天才吗》:“大众对数学家的形象有一个错误的认识:这些人似乎都使孤单离群的(甚至有一点疯癫)天才。他们不去关注其他同行的工作,不按常规的方式思考。他们总是能够获得无法解释的灵感(或者经过痛苦的挣扎之后突然获得),然后在所有的专家都一筹莫展的时候,在某个重大的问题上取得了突破的进展。这样浪漫的形象真够吸引人的,可是至少在现代数学学科中,这样的人或事是基本没有的。在数学中,我们的确有很多惊人的结论,深刻的定理,但是那都是经过几年,几十年,甚至几个世纪的积累,在很多优秀的或者伟大的数学家的努力之下一点一点得到的。每次从一个层次到另一个层次的理解加深的确都很不平凡,有些甚至是非常的出人意料。但尽管如此,这些成就也无不例外的建立在前人工作的基础之上,并不是全新的。”
①
Adrian Banner《普林斯顿微积分读本》:“如果没有极限的概念,那么微积分将不复存在。”
《高中A类 微积分》
我们先看这页内容下方的极限概念,看过(ε, δ)语言对极限的定义【(ε, δ)-definition of limit】之后,你是否已头昏眼花?
如果你头昏眼花,那纯属正常.
如果你这是头一次见到ε-δ语言,且头不昏眼不花。那你很可能是一位旷世天才,你的才能已经超越了下列天才的才能之和:从伽利略和开普勒到巴罗和费马,从牛顿和莱布尼茨到柯西和波尔查诺,再到魏尔斯特拉斯、康托尔和戴德金等一大批伟大数学家。
如果你在刚才短短的一瞬间就能将“几个世纪的思考和研究”(见上文,卡尔・B・波耶所言)成果轻松搞懂,那你的智力当然是远远超越了以上所有伟大数学的智力之和.
你已武功盖世,登峰造极的你可以去参加达摩院举办的阿里巴巴全球数学竞赛了,可以去跟姜萍同台竞技,一决高下.
正如卡尔・B・波耶所言,ε-δ语言之所以能从粗糙起步到精确形成,就是因为有一批伟大数学家在长达“两个世纪”(从巴罗算起,到康托尔大约跨越了200年)的冥思苦想中对极限概念进行了反反复复的推敲和打磨,ε-δ语言是伟大数学家们在跨越时空的奋力合作之后所创造出的一项智慧巅峰之作.
我先把维基百科中的浓缩精华版复制过来:
(∀ε > 0)(Ǝδ > 0)(∀ε ∈ ℝ)(0
但中文维基百科对这个表达式的解读有零星错误的地方,我把它改造了一下,这个表达式的意思如下所述:
对于任何正数ε(偏差范围. error:偏差),都能够找到一个正数δ(偏差范围. difference:偏差),
当x满足0
f(x)无论距离b有多近,它始终不是b,在f(x)与b之间总是能找到一个数字(而不是无穷小),使这个数字与f(x)与b的差为ε。对于每个ε都存在一个大于零的δ,使得满足上式的x属于a±δ【f(x)在点a存在右极限(或左极限)】.
ε和δ都是确实存在的实数,利用它们都能取得任意一个很小的实数来明确定义极限.
当条件满足时,正数δ是依赖于ε的变量。一般而言,对于ε,δ总是存在无数个,我们只要找到其中一个就能说明它存在.
以上就是集函数、集合和实数概念于一体的极限概念.
我们可以把ε-δ语言当成工具来检验求取极限后的命题是否成立,同时我们也能检测出ε-δ语言确实是具备描述求取极限类命题之一般性.
先测试一下上边《高中A类微积分》页面中的“问题”:
xₙ→1,
lim [k(xₙ)] = lim[(x²ₙ -1)/(xₙ-1)] = lim [(xₙ+1)(xₙ-1)/(xₙ-1)] = lim(xₙ+1) = 2
我们将实数1代入0
然后再把函数值k(xₙ) =(x²ₙ -1)/(xₙ-1)以及极限值2代入| f(x) - b|
得到
|(x²ₙ -1)/(xₙ-1)- 2 |
= |(xₙ+1)(xₙ-1)/(xₙ-1)- 2 | 【《高中A类微积分》ε-δ语言告诉我们:ε-δ语言并没有要求自变量的取值为a时函数有意义. 意思是只考虑x≠a,不用考虑x=a . 即这里我们只考虑xₙ≠1,不用考虑xₙ=1】
= |(xₙ+1)- 2 |
= | xₙ - 1 |
由 | xₙ - 1 |
⇒
δ = ε
也就是说,只要偏差范围δ取ε,不管ε有多小,函数值(x²ₙ -1)/(xₙ-1)与极限2之间的差距都一定会被控制在偏差范围ε之内
因为对于每一个实数ε > 0,我们可以取δ = ε,因此对于所有实数x,如果0 x − 1| δ,则 |(x²ₙ -1)/(xₙ-1)- 2 | ε
经ε-δ语言检验后,xₙ→1,limlim [(x²ₙ -1)/(xₙ-1)] = 2这一命题成立,此命题满足ε-δ语言对极限之定义.
再多证明一道命题:
x→2,
lim(4x+1)=9
我们将实数2代入0
然后再把函数值(4x+1)以及极限值9代入| f(x) - b|
由 | x-2 |
⇒
(1/4)4δ = ε (1/4)
δ = ε/4
也就是说,只要偏差范围δ取ε/4,不管ε有多小,函数值4x+1与极限9之间的差距都一定会被控制在偏差范围ε之内.
对于每一个实数ε > 0,我们可以取δ = ε /4,因此对于所有实数x,如果0 x − 2| δ,则 |4x + 1 − 9| ε
经ε-δ语言检验后,x→2,lim(4x+1)=9这一命题成立,此命题满足ε-δ语言对极限之定义.
《高中A类微积分》
《高中数学选修性必修第二册》
现在我们再回到课本《高中A类微积分》看以数列形式所展现出的y=x²在过点P(1,1)处的切线斜率(极限),可发现数列极限(上图《高中A类微积分》)与函数极限(上图《高中数学选修性必修第二册》)在本质上是相同的,不同之处仅在于数列在极限中的自变量是离散变化的,而函数在极限中的自变量是连续变化的.
xₙ→1,lim [k(xₙ)] = lim[(x²ₙ -1)/(xₙ-1)] = lim [(xₙ+1)(xₙ-1)/(xₙ-1)] = lim(xₙ+1) = 2
Δx→0,lim [f(x)-f(1) /(x-1)] = lim { [(1 + Δx)²-1²] / [(1 - Δx)-1] } = lim { [1² + 2Δx + ( Δx)² -1²] / Δx } = lim [(2 + Δx)Δx] / Δx = lim (Δx + 2) = 2
上边这两个函数解析式在本质上都是在计算抛物线y=x²在点P(1,1)处的切线斜率k.
抛物线y=x²上有无数个点可构建无数条直线从而形成无数个一次函数,在这些无数的一次函数所形成的无数条直线中又有无数条我们所谓的切线,这些切线都有其自身的斜率,这些切线的斜率就是抛物线y=x²所在不同点处之极限,也即导数.
抛物线y=x²上有无数个极限(导数)存在,这无数的极限(导数)构成了一个新的函数,这个新的函数就是导函数,可以说导函数是函数中之函数.
Δx→0,f'(x) = lim[f(x+Δx) - f(x) / Δx]
搞不清楚是谁首先写出了上边这个式子,William Dunham在《微积分的历程——从牛顿到勒贝格》中说是柯西首先写出的,卡尔・B・波耶在《微积分概念发展史》中则说是波尔查诺首先写出的.
柯西:“⼈总是要死的,但他们的业绩应该永存。”
卡尔・B・波耶在《微积分概念发展史》:“尽管柯西的研究谨小慎微,但是他的说明中仍然有许多措辞需要进一步解释。“无限趋近于”、“要怎么小就怎么小”和“无穷小增量的最后比”等的表达都是按照极限法来理解的,但是极限本身就包含了一些在上世纪就已经被提出来的难题。变量趋近于一个极限的概念就唤起了运动和量的生成的模糊直觉。此外,在柯西的描述里还有某些细微的逻辑缺陷。
其中之一是他未能清楚说明一个无穷集合的概念,这是其无穷序列研究的基础,导数和积分就建立在无穷序列之上。另一个缺陷非常明显,他没有定义所有概念中最基本的概念——数,这对极限的定义并从而对微积分概念的定义绝对重要。 波尔查诺首先触及其中的第一个问题,但是很久之后,大部分是通过格奥尔格·康托尔(Georg Cantor)的努力,它们的理论才得到进一步发展。第二个问题的难点主要在于无理数定义中的一个恶性循环,这由魏尔斯特拉斯去寻求解决了。”
这个时候的极限概念还未发生脱胎换骨之转变,魏尔斯特拉斯所创造的ε-δ语言还未诞生,康托尔和戴德金所创造的集合和实数概念更未登场亮相,所以在计算过程中会出现乔治·伯克莱主教所说的“鬼魂”(乔治·伯克莱指责“牛顿的逐渐消失的量”是“鬼魂”).
在上边数列求极限和函数求极限这两个式子中,含有“无限趋近于(xₙ→1)”,或者“要多小就有多小(Δx→0)”这种非常不精确的语言,它们不是数学语言;这两个式子在计算的过程中所存在的问题也是相同的,计算中会出现“既是零又不是零”之“鬼魂”.
翻看上边的ε-δ语言,它消除了不确定性的非数学语言,规避了“既是零又不是零”之自相矛盾.
William Dunham在《微积分的历程——从牛顿到勒贝格》:“......微积分的基础依旧是令人怀疑的。作为一个例证,我们不妨回忆一下无穷小量所扮演的角色。为了解释这些称为无穷小的量,从莱布尼茨到欧拉,他们都作过尝试,但是从来没有给出令人满意的证明。 像一条数学变色龙,无穷小看起来不可避免地同时既是零又不是零。从根本上说,它们的存在似乎是自相矛盾和违背直觉的。
数学家们将他们的结论建立在“逐渐消失的”量上不是什么好事。 牛顿是这种动态方法的倡导者,对于醉心于运动研究的他来说,这或许 是一种合理的主张。在引入我们现在所谓的导数的时候,他考察了逐渐消失的量的商,并且写道,他所指的这些逐渐消失的量的“最终比”,“既不是在它们消失之前的比,也不是在消失之后的比,而是正当这些量消失时的比”。除了想象一个量在消失(无论含义是什么)之后的概念以外,牛顿还要求他的读者想象当分子和分母噗的一声同时消失在稀薄空气中时的比。他的描述看起来给予非难者以可乘之机。
批评很快来临,而批评者是乔治·伯克莱(1685-1753)——英国著名的哲学家和克罗因教区的主教。伯克莱在他1734年所写的《分析学家》一文中,嘲笑那些遣责他依靠宗教信仰而不是理性行事的科学家们自己也在谈论着无穷小的量或逐渐消失的量。对伯克莱来说,这是最模糊的思想和最虚伪的行为。这一点隐含在文章长长的副标题中:
——致一位不信教的数学家的评论,其中剖析现代分析学的目标、原理和结论是否比宗教的神秘和教义有更清晰的构思或更缜密的推理。
伯克莱的评论非常刻薄。对于这位主教来说,无论微积分是建立在牛顿的逐渐消失的量的概念上还是建立在莱布尼茨的无穷小的概念上,都没有多大差别。他得出结论:“越是用心分析和追寻这些虚无飘渺的思想,越发陷入糊涂与迷茫的深渊。”伯克莱以拷问牛顿的口吻,提出了当时闻名遐尔的质疑:
这些流数到底是什么?逐渐消失的增量的速度有多么大?这些相同的逐渐消失的增量是什么?它们既不是有限的量,也不是无穷小的量,更不是零。难道我们不能把它们称为消逝的量的鬼魂吗?”
抛物线y = x²在点P(1,1)处的切线的斜率k(极限)数列表达:
xₙ→1,lim [k(xₙ)]
= lim[(x²ₙ -1)/(xₙ-1)]【这里的 xₙ可无限接近1,但不能等于1,即 xₙ ≠ 1】
= lim(xₙ+1)【这里的xₙ无限接近1,且能等于1,即 xₙ = 1】
= 2
一会儿 xₙ-1 ≠ 0
一会儿 xₙ-1 = 0
虽然计算得出的结果是对的,计算程序中却出现了逻辑矛盾,有一种莫名其妙的感觉.
抛物线y = x²在点P(1,1)处之切线斜率k(极限)函数表达:
Δx→0,
lim [f(x)-f(1) /(x-1)]
=lim [(2 + Δx)Δx / Δx]【这里的 Δx可无限接近0,但不能等于0,即 Δx ≠ 0】
= lim(Δx + 2)【这里的Δx可无限接近0,并且能等于0,即 Δx = 0】
= 2
一会儿 Δx ≠ 0
一会儿 Δx = 0
同样,虽然计算得出的结果是对的,计算程序中却也出现了逻辑矛盾,感觉也是莫名其妙.
William Dunham在《微积分的历程——从牛顿到勒贝格》:“现代读者的反应很可能是,‘别那么快,艾萨克!’当牛顿用0作除数的时候,0无疑不等于零。但是过了一会,0就变成零了。一言以蔽之,这里埋伏了隐患。这种零与非零的对应在随后的一个多世纪一直困扰着分析学家们。”
由此不难设想,正是因为这种莫名其妙的矛盾的出现,才催生了逻辑严密的ε-δ语言的诞生.
正如《高中A类微积分》所言:“ε-δ语言并没有要求自变量的取值为a时函数有意义”,也就是说,在定义(∀ε > 0)(Ǝδ > 0)(∀ε ∈ ℝ)(0
将此规定(只考虑x≠a,不考虑x=a)放入上边那两个计算当中就是,我们只考虑 xₙ≠1 、Δx≠0,而不考虑xₙ=1 、Δx=0
这样以来,我们就逃脱了计算运算中的逻辑矛盾.
②
高斯:“数学,科学的皇后;算术,数学的皇后。”
华罗庚《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》:“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。数缺形时少直觉,形少数时难入微。数形结合百般好,隔裂分家万事非。切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离!”
上边所述的集函数、集合以及实数理论为一体的魏尔斯特拉斯ε-δ语言所定义的极限概念,与我们即将进入的牛顿的极限概念有着天壤之别,ε-δ语言删除了牛顿极限概念中的辅助成分——时间和运动.
在牛顿所处的时代,数学中还没有函数和集合这种概念,极限还没有被ε-δ语言所精确定义,所以牛顿只能借助于几何直观来模糊证明极限的存在.
虽然牛顿的极限概念“没能提供思想的精确性”(见前边的卡尔・B・波耶语),但牛顿证明极限存在的过程,以及运用极限的扩展性证明都是超凡脱俗的.
牛顿所使用的很多方法并没有过时,现如今它们只是以更为精确的数学形式出现在了教科书中,牛顿精妙绝伦的证明仍然在闪烁诠释着数学的本质:数学是一种语言,它是一种创造性的思维活动.
牛顿所使用的很多方法值得后人永远学习和研究.
Yuri I. Manin《数学是一种隐喻》:“比喻是像与不像的结合, 使得任何一物决不可能变成其它东西。从根本上说, 全部语言具有比喻的特征, 因为不管它用来表示什么, 它仍旧只是语言, 绝对跟它所表示的东西不相等。自然(nature)的不可言表性正是语言的可能性之所在。将数学视为一种比喻, 我想要强调的是:对数学知识的诠释是具有高度创造性的行为。在某种程度上, 数学是一部关于自然和人类的小说。你不可能准确地说出数学教给我们的是什么, 正如你无法准确地说出《战争与和平》教会了我们什么一样。数学教学本身往往被对这种教学的重新思考所吞噬。”
陶哲轩:数理化是同一种东西,学数学是为了获得洞察力
王元《谈数学之现在与未来》:“传统的‘基础学科’提法,指的是‘数,理,化,天,地,生’,但钱学森认为‘一门是物理,研究物质运动基本规律的学问,一门是数学,指导我们推理和演算的学问,其他学问都是从这两门派生出来的’,‘比如化学,它实际上是研究分子变化的物理”,天文学“要研究星星内部到底是怎样变化的’,‘要研究的是宇宙的演化’,这只能靠物理,地学中现代板块理论与弄清地球深处的情况都要靠物理,‘生物学到分子水平’‘也就归结到物理学上去了’。因此数学和物理又是其他四门学科之基础。”
首先隆重推出郑太朴于1931年翻译出版的《自然哲学之数学原理》,因为他所翻译的《原理》版本准确度最高,比时下网上所热卖的王克迪、赵振江等其他版本都要准确。
郑太朴《原理》版本是从德国天文学家兼数学家的J.Ph.Wolfers译出的德文版《原理》翻译过来的,德文版《原理》很多地方都把牛顿的纯文字叙述改造成了现代数学符号化的形式,德文版这么搞不仅没有影响牛顿的论述,反倒提升了阅读质量和速度,而且这也促进了郑太朴将原意准确传达为中文。
根据我所搜索到的不多的资料的显示,不知为什么郑太朴虽然在德国哥廷根大学攻读数学和物理学,但他并没有拿到学位.
爱因斯坦《论教育》:“应当防止把世俗的成功当作人生目标向年轻人灌输。因为一个获得了成功的人,从他的同胞那里所取得的东西,总是要远远超过他为同胞所作的贡献。然而看一个人的价值,应当看他贡献了什么,而不应当看他获得了什么。”
巧合的是,上文中使极限概念发生颠覆性转变,兼职体育老师,创造出ε-δ语言的大数学家魏尔施特拉斯在波恩大学读书时也没有拿到学位.
陈建功《数学与天才》:“当伽罗瓦5岁时,德国产生了一位大数学家,名叫魏尔斯特拉斯(Karl Weierstrass,1815-1897)。他做大学生时,并非念数学,而是法律科的学生,数学不过自修罢了。出了大学,他去当中学的习字和体操教师,一直到48岁的时候,才做到柏林大学的数学教授。是什么缘故,一个学法律的人,能够变成一个数学大家呢?对于这个问题,只要记起他的一件轶事,就可以明白一 二了。魏尔斯特拉斯做中学教师的时候,有一天,他把早上8点钟的课,忘记去上了。于是乎那所中学的校长走进魏尔斯特拉斯的房间,去查明缺课的缘故。校长看见魏尔斯特拉斯正在研究数学,专心得了不得。魏尔斯特拉斯见校长进来,他就说:‘莫非天已经明了吗?’其实他对于一件重要创作,第一天晚上已经有了头绪,不知不觉弄到天明了。魏尔斯特拉斯这样的热心钻研、拼命用功,才成为数学家,难道我们非要把‘天才’的头衔加给他吗?”
希思版《几何原本》的扉页,印章文字:国立四川大学图书馆
每当看到过往时代有价值的文本,都让我肃然起敬.
在战火纷飞的岁月里,他们参与社会运动、攻克学术难题,他们激情澎湃、脑力激荡、轰轰烈烈地度过了短暂而充实的一生,他们的人生没有虚度.
Andrew Motte翻译,Florian Cajori修订的《自然哲学之数学原理》
I. Bernard Cohen翻译的《自然哲学之数学原理》
赵振江翻译的《自然哲学的数学原理》
王克迪翻译的《自然哲学之数学原理》
郑太朴翻译的《自然哲学之数学原理》
卡尔・B・波耶在《微积分概念发展史》:“我们注意到一个有趣的事实,牛顿在其早期著作里使用无穷小概念,后来却毫不含糊地否认它,并试图将流数概念建立在有限差值的最初比和最终比学说上——也就是说,建立在极限的基础上。”
首先要指出的是,无论是Andrew Motte和Florian Cajori翻译出的“its breadth AB is supposed diminishedin infinitum”,还是I. Bernard Cohen翻译出的“its width AB is diminished indefinitely”,两者都有“减小至无限小时”这种时间概念在里边,但是赵振江翻译的版本和王克迪翻译的版本都没有把这种意思翻译出来.【《原理》中出现的“evanescent(逐渐减少的,逐渐消失的)”也是有“减小至无限小时”之意.】
赵振江版本在中间侥幸翻译对了一次,那是因为他无法回避外文段落中出现的单词“when”,只有在看到“when”的时候才翻译出时间概念,看不到“when”就不翻译时间概念,这更加说明了他并没有理解牛顿原文的意思.
在以上中文版《原理》中的同一处,只有郑太朴翻译出了牛顿的原意,所以还是郑太朴的翻译水平高.
有些教授连那么重要的基础概念都能理解错误,所以他们翻译的书基本没法阅读,但他们翻译的书你还得买,因为自从有了白话文的中文版《原理》之后,郑太朴所翻译的半白话文《原理》应该是没再被重印过.你可以把中英文版的《原理》全都买上,对照着看,就容易懂了.
William Dunham在《微积分的历程——从牛顿到勒贝格》:“魏尔斯特拉斯重新给出极限的定义:x→0,lim f(x)=L,当且仅当对于任意ε,存在一个δ > 0,使得只要0
这个完美的定义同柯西对极限所说的话形成鲜明对⽐。在这⾥,没有任何动作,⽽且不涉及时间。这是⼀个静态的⽽⾮动态的定义,同时又是⼀个代数的⽽⾮⼏何的定义。定义的核⼼是一个关于不等式的断⾔。并且,可以把这个定义作为证明各种极限定理的基础。例如,用它给出“和的极限等于极限的和”的确切证明。至此,对于这样的定理可以进行像欧几里得命题那样完全严格的证明。
有⼈可能提出这样的观点:需要为精确性付出某种代价,因为魏尔斯特拉斯提出的严格定义缺乏直觉的魅⼒和⼏何上的直观性。毫⽆疑问,还需要慢慢适应像式(1)这样的陈述。除此之外,⼏何直观是值得怀疑的,⽽魏尔斯特拉斯给出的这个纯粹的分析定义丝毫不牵涉空间与时间。”
我们以郑太朴翻译的版本为准,来解读牛顿的意思.
牛顿一开始就给出了一个事实(公理):量与量,在不停地减少误差之后,它们之间的比就会小于任何误差.
然后他以自己所给出的以上事实(公理)为前提,又设置了一个障碍——一个不会缩小的误差D,就是说在量与量不停地减少误差之后,只能等于误差D,这样就会出现矛盾:量与量在越来越接近,误差却并不减少,这与牛顿一开始所给出的事实(公理)不相符.
牛顿所说的“其差小于任何已知之量”,其实就是高中教材中的Δx,Δx是一种可以无限变小的量(见上文①中的图《高中数学选修性必修第二册》).
1.补题就是牛顿给出的极限概念,其实“1.补题”就是“定理1”的意思,后边再出来的“补题”,我都以“定理”相称.
我们可以将导数分数线上边的内容(数字)理解为牛顿所构建的内切或外切直线形(如下图课本内容所示),把分数线下边的内容(数字)理解为他所构建的弧线,[f(x₀+Δx) - f(x₀)] / [(x₀+Δx) - (x₀)],分数线上下的分子、分母都是“差”之形式,分数线代表着除号➗,也就是说牛顿是用文字在叙述现在高中数学课本中的极限概念.
《高中数学选修性必修第二册》
牛顿用纯文字叙述的极限概念(定理1)让我们有一种含糊不清、不知所云的感觉,因为现代教科书所定义出的极限中的变量还都隐藏在牛顿所构建的云雾当中.
莱布尼茨《微积分的历史和起源》:“在我之前,没有任何人想到要建立新计算所特有的符号,以使人的想象和创造能力摆脱对图表的长久依赖......例如费马和笛卡尔,甚至是那个竞争对手(注:“那个竞争对手”是指牛顿)在一六几几年出版的《自然哲学之数学原理》中,与微分学相距甚远。因为以这种方式,不可能确定出差分的等级或多个变量的微分函数。”
但牛顿是旷世天才,他牛就牛在用几何直观的形式呈现出了极限必然会出现这一事实,他所用到的几何证明中有运动和时间存在,这是一种与《几何原本》中的纯粹静态的证明方式完全不同的方法,不知发明这种证明方法的专利权是否归属牛顿,也可能牛顿的老师巴罗就会这种方法吧.
《莱布尼茨微积分》的英译本翻译者J・M・Child:“巴罗在1670年出版了他的《几何讲义》(Lectiones Geometricae),而莱布尼茨最早看到巴罗研究成果的日期是1672年底。而且有理由相信,正如我在我的《讲义》版本中所指出的那样,巴罗在《几何讲义》出版前很多年就已经掌握了相关的研究方法,而且很可能在1664年将这些内容告诉了牛顿。”
定理3是对定理2的扩展,定理4是对定理3和定理2的扩展.
与上次侥幸翻对相一致,对定理4点翻译也是因为外文段落中有单词“when”出现,赵振江被逼无奈不得不把时间概念全都翻译出来,所以他才把“减小至无限小时”基本翻译对了.
这次王克迪也被逼着翻出了一个孤零零的“时”字.
定理4要用到《几何原本》中的“by composition [or componendo]”,即“合比例”(《几何原本·第Ⅴ卷·定义14》),赵振江翻译成了“由复合”,王克迪翻译成了“合起来”,这暴露了他们不知道牛顿所说的是一个定理.
而郑太朴的译文中没有“合比例”这个定理,但这并非他忽略未翻所至,而是因为他所翻译的J.Ph.Wolfers德文版中根本就不存在这个定理,所以错不在他.
J.Ph.Wolfers翻译的德文版《自然哲学之数学原理》
赵振江、王克迪及德文版译者J.Ph.Wolfers在定理4的翻译上都出错了,这可能是因为他们对《几何原本》不熟悉所造成的后果.
《几何原本·第Ⅴ卷·定义14》:如果a:b = c:d,则其合比例为(a + b): b =(c + d): d
以上命题可转化,可根据《原本 · 第Ⅴ卷· 命题16》:如果a∶b = c∶d ,则a∶c = b∶d,d∶b = c∶a
可转化为(a + b): (c + d)= b:d = a:c
其实,用《几何原本·第Ⅴ卷·命题12》解释定理4,会更直接,更容易理解.
估计坏人牛顿是为了让人看不懂,才故意转弯、绕圈,搞不容易让人理解的“componendo”,且不注明出自《几何原本·第Ⅴ卷·定义14》,把德国和中国的教授们都搞得晕头转向.
《几何原本·第Ⅴ卷·命题12》:如果a∶b = c∶d = e∶f,则a∶b =(a+c+e): (b+d+f)
迈克尔·怀特《最后的炼金术士:牛顿传》:“多年以后,牛顿已身为世界闻名的科学家,他告诉一位朋友:之所以故意把《自然哲学之数学原理》弄得尽可能地艰涩难读,是为了‘避免受到对数学一知半解的人的打扰’。”
定理4之数学推导:
(the individual parallelograms in the one figure) /(the corresponding individual parallelograms in the other)
=
(the sum of all the parallelograms in the one) /(the sum of all the parallelograms in the other)
=
“系”(COROLLARY),即推论之数学推导:
part 1 / part 2
=
parts 1 / parts 2
=
parallelograms 1 / parallelograms 2
=
figure 1 / figure 2
定理5与我所论述的问题没啥关系,所以略去.
但既然已提到了定理5,那就抓住机会把牛顿再多指责一次,可能牛顿在定理5与定理8的关系上搞错了逻辑顺序.
按推理,应当把定理5排版到定理8后边才对.因为定理8论证的是曲线形与直线形在极限状态下相似且全等;而定理5的论述则是:在极限状态下曲线形与直线形相似,它们面积的比等于二者边的二次比.先有形状相似,后有面积比等于二者边的二次比,所以牛顿在这里排版内容的顺序不合理.
提示,定理5要用到了《几何原本》第Ⅵ卷的命题20:将两个相似多边形分成同样多个相似三角形,且对应三角形的比如同原形的比;又原多边形与多边形的比如同对应边与对应边的二次比.
在定理2、定理3及定理4中,牛顿在所构建的图形中,证明了切线所形成的外切长方形,与切线相平行的线段(从定理7的推论可知是“与切线相平行的线段”,可自行去书中查看)所形成的内切长方形、以及被夹在前两者中间的曲线形,三样东西在极限状态下面积最终会相等,所以三者相互之最后比相等.
但是,牛顿在定理6和定理7中,无法利用定理2、定理3及定理4证明:曲线,曲线的切线,以及与曲线的切线相平行的线段,三者在不停缩短之后(在极限状态下)相等(曲线与它的切线之间的角会消失).也即他只证明了极限在面积极限状态下的存在,却无法证明极限在线段极限状态下也存在.
我们在看上图的中的水面时,直观感觉水面是平的,感受不到球的弧度,这就是曲线与曲线的切线存在极限的最直观证明【想象水面上有纵线或横线,我们无法看出此线段是包裹在地球这个球体上的,也就是说水面上抱着地球的这条弧线在我们眼里是直线(切线).据网上拍视频的海员说,他们在大洋深处的海面上航行,极目远眺,同样也看不出海面有弧度】.
还有我们在公园所看到的用地砖铺设的弯曲路径,那些地砖往往都是用标准模具制作出来的长方体或正方形体,它们的直线边缘与路径的曲线边缘却十分吻合,感觉看不出地砖的直线与道路的曲线有啥差别.
在下图《高中数学选修性必修第二册》页面中,切线与曲线相切之处的附近被“不断放大”后,“曲线越来越接近直线”所直观反映出的现象与我所举之例在原理上是一致的.
《高中数学选修性必修第二册》
卡尔・B・波耶在《微积分概念发展史》:“莱布尼茨的学生约翰·伯努利非常质朴地指出伽利略和列文虎克(Leeuwenhoek)的著作中提供的比喻。他将不同阶的无穷大比之于星球和太阳、行星、它们的卫星以及卫星上的群山等等的关系。同样,无穷小量类似于显微镜下看到的明显有无数个等级的微生物。莱布尼茨虽然很欣赏这种比较,但他提醒伯努利说,微生物的大小是有限的,而微分则是无穷小。”
③
牛顿无法利用定理2、定理3及定理4证明:曲线,曲线的切线,以及与曲线的切线相平行的线段,三者在不停缩短之后(在极限状态下)相等(曲线与它的切线之间的角会消失).
因此牛顿在定理6中引入了一个新的概念“continuous curvature(连续曲率)”,也即注释中所说的“the nature of curvature(曲率的性质)”.
1686年出版的《原理》第一版是拉丁文,第一版中就有“the nature of curvature(曲率的性质)”这个词的拉丁文“naturam Curvaturæ”.
1686年出版的第一版《自然哲学之数学原理》
但牛顿目前并没有详细解释“continuous curvature(连续曲率)”这个概念,翻看《原理》全书,牛顿在计算天体轨道时会大量用到与曲率相关的计算,估计读了那些内容之后才有可能真正搞明白牛顿对定理6的证明.
在布⾥格斯,科克伦和吉勒特所著的《微积分》里,有“curvature(曲率)”的内容,估计这本书描述此概念所用到的“smooth”就是牛顿所说的“continuous”吧,估计这两个形容词限定的是“curvature曲率”的同一性质.
从上海交通大学出版的《大学数学微积分》中也能找到类似的问题.
这部分的内容太多了,我在下边只贴出了一小部分,要想搞懂这些内容需大量阅读相关知识,我现在还没有空搞这些,所以在“curvature(曲率)”这个问题上我就不班门弄斧了.
莱布尼茨《致伯努利的信》:“我在1672年(莱布尼茨26时)到达巴黎时,我自学了几何学,实际上我对这门学科知之甚少,也因为缺乏相关的知识,我没有耐心去研读完几何学中一长串的证明。”
William Dunham在《微积分的历程——从牛顿到勒贝格》:“在1672年,他到巴黎担任外交官之前,莱布尼茨还是一个被认为对‘阅读冗长的数学证明’缺乏耐心的新手。他不满足于自己的知识,花费时间填补缺口,大量阅读令人敬仰的数学家们的著作,远至古代的欧几里得(公元前3世纪前后),近至他那个时代的帕斯卡(1623—1662)、巴罗(牛顿的老师)以及他一度师从的克里斯琴·惠更斯(1629—1695)。开始的时候困难重重,但是莱布尼茨坚持了下来。他后来回忆说,尽管他还有很多不足,但是“不知从哪里来的自信让我坚信,只要努力我就可以成为他们中的一员”。
William Briggs & Lyle Cochran & Bernard Gillett:《微积分》
交通大学《大学数学微积分》
虽然无法彻底看懂定理6的整个证明过程,但我们能看懂牛顿在此命题中想要证明达成的目标,牛顿在定理6和定理7中描述了一个现象,动点B在弧线ACB上行走,不断接近于A点,直到B点与A点重合,就会发生极限现象:曲线,曲线的切线,以及与曲线的切线相平行的线段会相等(曲线与它的切线之间的角会消失).
牛顿的意思,其实就是上图《高中数学选修性必修第二册》中割线往切线逼近的过程,即“点P(x,f(x))沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P₀(x₀,f(x₀))时,割线P₀P无限趋近于一个确定的位置,这个确定的直线P₀T称为曲线y=f(x)在P₀处的切线”.
也就是说,在对极限的现象的描述上,牛顿与《高中数学选修性必修第二册》的叙述方式非常相似,这种参杂了运动和时间概念的描述性语言是不严格的,它没法与ε-δ语言相提并论.
卡尔・B・波耶在《微积分概念发展史》:“在1694年,荷兰内科医生兼几何学家贝尔纳·纽文泰特(Bernard Nieuwentijdt))开始攻击牛顿的研究缺乏清晰性,攻击莱布尼茨的高阶微分缺乏合理性。在这方面,纽文泰特并不孤独,他身后有一连串的数学家也群起效尤。虽然一般说来他承认新方法结果的正确性,但是感到它们带来了某些难于理解的东西,并且说它们经常导致荒谬的东西。他批评巴罗的切线方法,因为a和e被当作零。他认为牛顿的迅速消失的量太含糊,还说他无法理解关于极限引理的推理,其中的量在给定时间里趋向于相等,并且最后是相等的。在莱布尼茨的分析里,他质疑无穷小量之和为何是一个有限的量。”
下边是定理7中所涉及到的初等数学方面的证明:
弧Acb∽弧ACB
《几何原本》第Ⅵ卷的命题4:在两个三角形中,如果各角对应相等,则夹等角的边成比例.
⇒
▿ABD∽▿Abd
AB:Ab = AD:Ad
在极限状态下,
Ab = Ad = 弧Acb
Ab:Ad:弧Acb = 1:1:1
⇒
“vanish”,有“become zero(变为零)”之意,所以得到
AB = AD = 弧ACB = 0
AB :AD :弧ACB = 0:0:0
但是, “AB,AD及弧ACB成为零”是不可能的,因为它们都是零的话,这些式子就没有意义了.
在极限状态下,
AB:Ab = AD:Ad = 弧ACB:弧Acb
Ab:Ad:弧Acb = 1:1:1
⇒
AB:1 = AD:1 = 弧ACB:1
《原本 · 第Ⅴ卷· 命题16》:如果a ∶ b = c ∶ d ,则a ∶ c = b ∶ d,d ∶ b = c ∶a
⇒
AB:AD = 1:1 = AD:弧ACB = 1:1
⇒
AB:AD = Ab:Ad = AD:弧ACB = Ad:弧Acb = 1:1
⇒
AB = AD = 弧ACB
也就是说,命题7的最终结论是:AB :AD :弧ACB = 1:1:1
而不是AB :AD :弧ACB = 0:0:0
陈建功《二十世纪的数学教育》:“比例论是《几何原本》中最壮丽的部分。”
所以“vanish”的意思肯定不是“become zero(变为零)”,这又回到了我们在①中所遇到的问题:“William Dunham在《微积分的历程——从牛顿到勒贝格》:现代读者的反应很可能是,‘别那么快,艾萨克!’当牛顿用0作除数的时候,0无疑不等于零.但是过了一会,0就变成零了.一言以蔽之,这里埋伏了隐患.这种零与非零的对应在随后的一个多世纪一直困扰着分析学家们.”
牛顿还没有找到像ε-δ 语言这种无需运动和时间就可精确定义“连续”的方法,他距离精准的ε-δ 语言还太遥远.
在后边的④中,我们将在《高中A类微积分》中看到ε-δ语言所定义的“连续”是如何清晰解释以上现象的,ε-δ语言无需借助运动和时间就能把牛顿在定理7中所论述的现象解释得清清楚楚、明明白白.
卡尔・B・波耶在《微积分概念发展史》:“自从魏尔斯特拉斯的时代起,⼈们就认识到变量和极限的概念本质上并不是动态的,只涉及纯粹的静态观念。魏尔斯特拉斯把一个变量x简单地解释为一个字母,它表示一个数值集合中的任何一项。一个连续变量同样可根据静态观念来定义:如果对于一个集中的任何数值x₀以及任何正数序列δ₁,δ₂,...,δₙ,不管δᵢ多小,在区间x₀-δᵢ,x₀+δᵢ;之间都存在这个集的其他数值,那么这就叫做连续。”
卡尔・B・波耶在《微积分概念发展史》:“通过感性知觉,我们显然⽆法推断我们是否能⽤连续统处理运动。亥姆霍兹、马赫以及其他⼈的实验已经表明,触觉和视觉的⽣理学空间本⾝不是连续的(注:亥姆霍兹和马赫都是物理学家兼心理学家)。”
卡尔・B・波耶在《微积分概念发展史》:“在⽜顿的流数法中引⼈匀速运动,是隐秘地求助于直觉来不恰当地逃避连续性问题。”
卡尔・B・波耶在《微积分概念发展史》:“⽜顿起初想到的⽆穷⼩量既不是有限的,也并⾮确切的零。下⼀个世纪研究该⽅法的批评家恰如其分地把它们称为‘死去的量的⿁魂 ’ 。”
从图形整体上看,定理6、定理7所取的不是四分之一圆,而是只取了定理2图形的一个局部,我在阅读初期本以为牛顿的论证过程可能是从面积相等转化到线段相等,结果不是这样的.
下边贴出的《普林斯顿微积分读本》《托马斯微积分》《大学数学微积分》《高中A类微积分》等现代微积分教材,在类似定理7这种命题的证明过程中都用到了从面积转化到线段这一推导环节.
我想,牛顿的定理6和定理7有可能就是“x→0,lim (sinx/x)=1 ”这个命题最早的雏形,此命题从最早牛顿发明它以来就非常很重要,所以很多教科书都称此命题为“一个重要的极限”.
也许是因为牛顿所处的时代还没有如今这么多现成的工具可用,所以他所采取的证明方式与现代的方法截然不同.
当然,也许牛顿的证明在有些方法和步骤上(除了这个“隐患0”之外)要比我们现在更厉害,更高明,这不是没有可能.
④
让我没有想到的是,在类似命题的证明上,《高中A类微积分》竟然是最严谨的.
在下边贴出的所有国内外教材中,只有新编写出版的这本《高中A类微积分》采用了ε-δ 语言来严格证明“夹逼定理”和命题“x→0,lim (sinx/x)=1 ”.
所以说,《高中A类微积分》为极限指明了方向,这真不是吹牛胡说,至少高中微积分为ε-δ 语言所定义的精准极限概念的应用指明了方向.
孙斌勇:“在数学方面,从小就要学得扎实,要踏实一点。比方打开课本,要用怀疑的态度去学习,问自己书上写的每一句话是不是都对、都足够好。如果不是,你是不是可以把它改进得更准确一点。
我上学的时候,并不怎么做题,包括难题。比如大学教科书,许多同学都比较喜欢挑战课后难题,我基本都不做,我会把课文的正文内容理解得非常透彻,非常熟悉每一个定义定理。到了做研究的时候基本也是如此。
其实我的数学知识相对于其他数学家来说,可能没那么多,但是我希望把自认为懂的东西真的弄懂。
因为我学得比较慢,所以我一路做的研究都不是太热门的。比如有一个新方向,大家纷纷追逐的时候,我可能去研究前人留下来的问题,做完了再去考虑新问题。”
《高中A类微积分》
证明夹逼定理之关键步骤:
b-ε
当0
有b - ε
⇒
g(x)
⇒
g(x) - b
⇒
g(x) - b
⇒
所以| g(x) - b |
⇒
x→a
lim[g(x)] = b
证明x→0,lim (sinx/x)=1之关键步骤:
cosx = 1 - 2sin²(x/2)
⇒
1 - cosx = 2sin²(x/2)
⇒
∵ cosα ≤ 1
∴ 1-cosx = | cosx-1 |
| cosx-1 | = 2 | sin(x/2) |²
x→0
⇒
| cosx-1 | = 2 | sin(x/2) |² ≤ 2sin(x/2)
sin(x/2)
⇒
2·sin(x/2)
⇒
2·sin(x/2)
⇒
| cosx-1 | = 2 | sin(x/2) |² ≤ 2sin(x/2) 0)(Ǝδ > 0)(∀ε ∈ ℝ)(0
| cosx-1 | = 2 | sin(x/2) |² ≤ 2sin(x/2)
0 0)(Ǝδ > 0)(∀ε ∈ ℝ)(0
根据(∀ε > 0)(Ǝδ > 0)(∀ε ∈ ℝ)(0
0
⇒
cosx
所以当-π/2 0)(Ǝδ > 0)(∀ε ∈ ℝ)(0
《高中A类微积分》在证明x→0,lim (sinx/x)=1这个命题的步骤分为右极限证明和左极限证明,共两个部分:
一、右极限的证明,证明0 < x < π/2时,这个部分的0 < | x - 0 | < δ确实可以被写成0 < x < δ,因为x是正数,加在正数上的绝对值符号是可以被省掉的,所以课本是对的;
二、左极限的证明,如果是证明-π/2
也就是说,就整体而言(将左极限、右极限整合起来看),用ε-δ语言对不等式cosx
https://www.youtube.com/watch?v=R4EIQxjQhfo&t=9s
Adrian Banner:《普林斯顿微积分读本》
George B. Thomas:《托马斯微积分》
沃伯格(Varberg, D.) & 柏塞尔(Purcell, E.J.) & 里格登(Rigdon, S. E.):《微积分》
https://www.youtube.com/watch?v=nGbxIcHVZyE&t=87s
上海交通大学:《大学数学微积分》)
伽利略·伽利莱:“哲学(即自然哲学)写在这本宏大的书中——我指的是宇宙——它一直展现在我们的眼前,但除非我们首先学会理解语言并解释其中的字符,否则我们无法理解它。它是用数学语言写成的,其字符是三角形、圆形和其他几何图形,没有这些,人类不可能理解其中任何一个字;没有这些,人们就会在黑暗的迷宫中徘徊。”(注:谷歌翻译)
Galileo Galilei:“Philosophy [i.e. natural philosophy] is written in this grand book—I mean the Universe—which stands continually open to our gaze, but it cannot be understood unless one first learns to comprehend the language and interpret the characters in which it is written. It is written in the language of mathematics, and its characters are triangles, circles, and other geometrical figures, without which it is humanly impossible to understand a single word of it; without these, one is wandering around in a dark labyrinth.”
来源:自然创意设计