09高质量早期教育课程资源开发要点：数学（上）

摘要：大家还记得前一段时间网上流传的那个“背乘法口诀的小女孩太难了的”的短视频吗？其实，家长不知道乘法就是若干个相同加数相加的简化记录。之所以有乘法，是因为记录很多个同一个数相加的需要。例如，10000个2相加，就把它记作2X10000，这样就比连着写10000个2

李靖编著

65.3x5孩子不知道等于啥，究竟谁糊涂？

大家还记得前一段时间网上流传的那个“背乘法口诀的小女孩太难了的”的短视频吗？其实，家长不知道乘法就是若干个相同加数相加的简化记录。之所以有乘法，是因为记录很多个同一个数相加的需要。例如，10000个2相加，就把它记作2X10000，这样就比连着写10000个2，并把它们加起来，要简单的多。如果家长知道三乘五，就是三个五相加的简化记录，孩子还至于此吗？背诵乘法口诀还有意义吗？加减乘除不仅是相互区别的，更是相互联系的。只有在联系中区别，在区别中联系，才是高境界的教育。果如是，家长如愿，孩子幸福。

望子成龙，天下父母之心。然而，父母一定要得法，否则，苦了孩子，结果也难如愿。关注新人类教育首都卓越儿童家长之家，我们一起培育大师，共圆民族复兴之梦！

66.认识数学的基础，孕育发展认识世界的科学手段

（1）探索认识记数工具

鉴于记数在整个数学教育的启蒙地位和基础地位，以及现实中幼儿记数教育的十进制灌输性，造成幼儿诸多理解障碍，影响可持续发展，有必要特别探讨，引导幼儿孕育发展认识世界的科学手段。

不同于语言文字是对事物本身的语音和视觉符号表达，以区别一事物与其他事物，从而达成对一事物的认知，并成为交流的手段。数字作为特殊的符号，是对事物单位量的多少的语音和视觉符号表达，以形成对事物单位量的多少的认知。所谓单位量就是把一个或多个相同事物视作一个整体，形成一个具有固定数量的记数单位，通过化多为一，实现数量认知。如下图。

单位量不仅可以是一个自然或人造物，也可以是多个事物组成的一个整体，应根据相应的需要来确定。下图是以十进制为例：不同计数单位的3个单位量图示。

现实生活中家长以十进制对孩子进行数字教育存在诸多问题，比如，在孩子没有数量需求的情况下教孩子数数，或者在没有相关经验的支撑下一开始就以比较复杂的十进制记数方法让孩子数数或计算等等，这些都不利于孩子的可持续发展，问题的关键在于家长没有弄清楚记数的原理，循序施行记数教育。只有学会记数，才会计数。

首先要在孩子对相关事物具有量的需要前提下，才可以对孩子进行循序渐进的记数启蒙，而不是家长单方面对孩子数字教育的需要。要引导孩子在社会生活中意识到，会面临很多量的问题。事物量的多少，既可能是有限少的，又可能是庞大的甚至是无限的。面对庞大的数量我们要引导孩子意识到像对事物的语言文字表达一样那样，逐一规定出会不相同量的名字是不可能的，也是没有意义的。面对这样的数量表达困境，引导孩子认识到必须想办法能够把面对的量的多少表达出来，让自己明白，也利于别人明白，以实现与别人的相关交流有效。可以引导孩子从现实生活中找启示。现实生活中有许多多化一的案例启示。比如20个苹果可以化为1箱苹果，20箱苹果可以化为1农用三轮车苹果，20农用三轮车苹果可以化为1卡车苹果，20卡车苹果可以化为1集装箱苹果等。这就是20化1，也就是20进制。而且，还必须引导孩子意识到在一个事件中表达同一事物的量时，必须选择一个固定的量作为一个整体，否则量不是确定不变的，是随意的，变动不居的，没有显著的规律可循，既难以表达一种事物的量及其相关计数，更难以实现有效量的记数与计数的交流。

有关研究表明，幼儿像一些小动物一样对于小于5以下的小数字具有天然的感知能力，也就是他（它）们能够意识到5以下数量的多少，但不会使用像人类一样的数字语言去表达。因此，对孩子进行记数教育（探索数量的语音和数学符号表达方法）可以从小数量进制开始。因为凭借天然的感知能力，他们能够区分小数量，接下来仅仅是对相应的小数量进行命名而已，这样的认知难度就很小。然而生活中他们面临的并非只有小数量，而且他们的需求也并不限于小数量。一旦遇到超出他们感知能力的数量，要实现真正有意义的记数，唯有采取化多为一的策略，使其在形式上表现为小数量，才能实现认知与交流的目的。

二进制是最简单的记数方法，但其蕴含的记数原则与方法与其他更为复杂的记数方法是相通的。其规则就是够两个数量单位必须化为1个更大的记数单位量，这样它所使用的表达符号只有两个，一个是表示没有的符号0，一个示表示1个单位量的符号，一旦有多于1个的单位量的就必须遵循逢2化1的原则进行表达。如下图：

上图的表达形式仅仅限于对二进制记（计）数方法的说明，对于孩子的记数启蒙教育是不适合的。对孩子进行记数启蒙，应遵循在真实记数需要存在的前提下，通过探索对事物的分类（计数单位）摆放实施，然后再进行语音和符号表达。下图使用二进制对10个土豆的记数表达。

如此继续，让孩子体会到数量越多表达越复杂，同时理解其实际表达的数量起来也开始发生困难，并引导孩子体认到是由于每个数位上的容量太小造成的，于是可考虑扩大每个数位上的容量，从而转入3进制、4进制的乃至更多地不同进制表达方法的探索，直到我们确信孩子对进制意义的准确理解并具有相应的表达能力，我们可以适时引导孩子认识到10进制的便捷，从而把精力转到10进制记数方法的探索，并进行相应的计数。当然，也不可忽与我们生活十分密切的视诸如月、年、时分等记（计）时方法的探索。

（2）探索认识形体

各种形体首先不是几何学意义上的所谓知识，而适应生活需要而生，服务生活的形体实物。因稳定性需要，人们认识了三角形的；因垦荒的便捷高效性需要，人们创造了长方形；因修筑堤坝的需要，人们认识了梯形；因交通工具的探索，人们认识了圆形。所有这些都要求我们，要摒弃纯粹的知识教育观念，把知识的探索作为服务生活的手段，培养创新能力，立德树人，回归教育的本来面面貌，相应时代的价值需要。例如，我们可以在种植活动中，引导孩子体认到有些蔬菜需要搭架才能跟好的支撑其生长，进而在大家的探索中使孩子体认到三角支架的稳定性生产价值，并引导迁移到其他生产和生活活动之中。我们可以通过社会生活让孩子体认到长方形（正方形）在社会生活中的应用价值，也可以通过探索它们的非稳定性，并应用到生产和社会生活中以满足相应的需要。可以通过真实操作、实际体验的方法引导孩子修筑“堤坝”，逐步在比较中认识到梯形截面的堤坝在阻挡水流，抗击水压方面的显著效用。通过这种方式的探索使孩子不仅可以几何知识同样来自于生活的需要，被生活创造，为生活服务，以潜移默化的方式认识劳动的价值，知识的价值，及其相互关系，从根本上保障立德树人的成效。

（3）探索测量

在孩子记数能力获得相应的发展基础上，通过社会生活激发孩子体认到测量事物长短量的需要，引导孩子选用身边的相应事物作为非标准单位长度的测量工具，从整数级长度开始，逐步过渡到非整数级长度测量，激发对非标准单位长度分化的需要，完善非标准单位长度体系，以满足对任意长度事物测量的需要。进而，在启发孩子体认到非标长度单位的交流局限性的基础上，激发对标准长度单位的需要，认识标准单位长度及其表达交流价值，感悟其背后的人民意见一致性，挖掘立德树人的教育价值，孕育人民至上的价值观念。

根据生活需要，在尊重孩子想法的基础上，引导孩子探索面积和体积的测量手段和方法，通过对不同手段和方法的存在的局限性探讨，逐步完善，形成科学的测量手段和方法，并探索相应的记录表达方法，形成相应图形的面积与体积表达的科学方法。

（4）探索统计的价值

在孩子记数和测量能力获得相应发展的基础上，根据生产和生活需要引导孩子进行相应探索性统计活动。可以沿着两个方向加强对孩子的启发引领：一个是通过数据记录，依据对十进制的理解，发展相应的计算能力；一个是对数据特征的分析，认识事物的发展。

67.认识进制

在孩子体认到进制是做好的记数工具基础上，引导孩子体认到我们每个人都有十个手指，可以随时随地以它为单位进行记数，它是我们最方便的记数工具。并根据生活需要，以十进制为记数工具，进行记数或计数。我们要深刻意识到，十进制记数是整个数字计算的基础，这个问题解决得好坏，从根本上决定后续的所有计算活动。这个活动解决的好，后面的加减乘除等一切运算的发明与理解，就是水到渠成的事，就不再需要传统的训练型数学教育，它将为人工智能工具所替代，我们可以节省更多的传统教育时间，以专注于数学创造教育。因此这个专题的教育活动，不可操之过急，急于求成，必须循序渐进，因材施教，确保每一个孩子得到充分发展，从根本上保障可持续发展。

68.认识分数与小数的产生

在度量时总会出现不能得到整数单位的情况，为了解决这种问题就需要引导孩子把余量进行适当等分，因为十进制的普遍性，在很多时候可以考虑引导孩子进行时等分。比如下图线段AB作为长度单位去度量线段AC的长度就是如此，这是就可以引导孩子对线段AB进行时等分后，就可度量出线段AC仅占线段AB的10份中的1份，这时就可引导孩子做一个规定性表达，即十分之一，以便于交流。

当然，遇到上述一类问题的情况时，引导孩子探索度量后的表达时，孩子必然会有不同的表达方法，都应当尊重，但也要引导孩子在比较中识别直观简洁的表达方法，并与成人社会的表达方法对接。其中小数是与分数不同的另一种依靠十进制的含义进行的表达。比如上述线段AC的长度可表达为0.1。

于是，就有：十分之一等于零点一。那么这个等式是如何成立的呢？我们可以从分数和小数表达方法所承载的含义上引导孩子具体深入探索。

上述我们认为十分之一是度量线段长短的特定表达，就是把单位长度为1的线段10等分，度量特定线段AC的长度可表达为十分之一。实际上这个问题也可以转化为除法的意义去理解。除法就是对于各特定的量进行均分，或连续进行等量的减法的简单表达。于是十分之一便可理解为把1个东西10个人均分，每人分得0.1或十分之一，这样十分之一等于1除以10，等于0.1，竖式可以表达为：

最后，引导孩子发现几分之一，实际就是理解为几进制，比如二分之一就是二进制，两个

之一加在一起，就重新组合成一个整体1，以此三个三分之一加在一起，就重新组合成一个整体1，等等。

它也说明，分数的分母表示的是把一个单位整体1分几份的问题，分子上的1表示其中一份，是1的几倍就是有几份，比如五分之四表示的意思就是把1个东西分成5份，总共有4份。如果分母不同，就意味着单位1分的分数是不同的，所以其中一份的大小也是不同的。因此两个分数相加，必须保证把整体1分成相同的份数，要就是不同的分母遵循等值的原则转化为相同的分母，确保每一份是相同的才可以相加减。例如：二分之一加三分之一，我们可以把它们原来吧1分成两份和三份，统一转化成六份，于是二分之一和三分之一就可表达为六分之三和六分之二，于是原来二分之一加三分之一就等于六分之五。

这样的问题的解决与实物操作在一起进行，是最符合幼儿年龄特征的，是幼儿最能接受的方式，也是幼儿能够理解的方式。

69.相反量的表达

引导孩子体认到生活中有许多具有相反意义的量，但过去的数字并不能准确表达。比如，一个人向东走与向西走的实际意义不仅是数字的不同，还有方向的不同的问题。而且还要让孩子体认到相反意义的量还有一个圆点问题，是以圆点为起点的相反。

比如，一个人向东走5米，然后又向西走8米，最后他处在什么位置？可作如下表达：