摘要：很多人可能没听过“卡凯亚猜想”（Kakeya conjecture），又名挂谷猜想，但它在数学界的地位，类似哥德巴赫猜想之于数论，P≠NP之于计算机科学，50年来无数人冲锋陷阵，结果不是败退就是卡在半山腰。而现在，两个人，硬生生杀到了山顶。
50年了，数学界的老大难，终于被拿下了。
很多人可能没听过“卡凯亚猜想”（Kakeya conjecture），又名挂谷猜想，但它在数学界的地位，类似哥德巴赫猜想之于数论，P≠NP之于计算机科学，50年来无数人冲锋陷阵，结果不是败退就是卡在半山腰。而现在，两个人，硬生生杀到了山顶。
一个“简单”的问题，困住了整个数学界。
想象一根针或者一支笔，在二维平面上，你要让它转一圈，指向所有方向，同时尽可能减少占用的面积。直觉上，最小的范围应该是一个圆，但1917年，日本数学家卡凯亚发现，居然有更小的方式。两年后，俄国数学家别西科维奇（Besicovitch），直接构造出了一种占地几乎为零的结构，让笔转一圈所覆盖的区域无限趋近于零，这非常反直觉。
这就炸了。
这意味着，在二维世界里，你几乎可以不花任何面积，就让一支笔完成360度旋转。这不仅颠覆直觉，还直接跟数学的很多基本问题挂上了钩。
事情发展到1971年，麻烦来了。
当你把这个问题扩展到三维，情况就完全变了。这里的笔不是一个二维的线，而是一个有厚度的实体，你不仅要旋转它，还要考虑它扫过的空间体积。数学家费夫曼（Robert Fefferman）发现，这个问题居然跟傅里叶变换（Fourier Transform）扯上了关系。
傅里叶变换，简单来说，是把复杂的数学函数拆解成一堆波的叠加，是信号处理、量子力学、AI算法里必不可少的工具。而卡凯亚问题的三维版本，正好在傅里叶分析中扮演了一个极其核心的角色。
换句话说，这不只是一个“旋转笔”的游戏，而是一个能影响整个数学、计算机科学、物理学的底层问题。
于是，1971年，三维卡凯亚猜想正式登场，它断言：无论你怎么变着花样旋转笔，这个笔轨迹占用的空间，最小也得达到某个极限。而这个极限，正好等于三维空间的维度，也就是3。
这个看似简单的结论，数学家们50年都证明不了。
困难在哪？卡凯亚集的“幽灵”特性。
数学家们换了个思路，不再盯着一根根笔，而是把所有可能的笔的位置放到一起，看它们形成了一个怎样的集合。这个集合，数学上叫“卡凯亚集”（Kakeya set），本质上是一个充满重叠的“幽灵轨迹群”。你可以把它想象成一大堆极细的管子，全都朝不同的方向伸展，并尽可能挤压在一起，减少体积。
问题是，这些幽灵管子到底能不能压缩到比三维空间更低的维度？如果可以，那就意味着卡凯亚猜想是错的，反之则是对的。
1995年，沃尔夫（Tom Wolff）把问题推进了一步，证明了这个“幽灵轨迹群”的维度至少有2.5，但离3还差了一大截。
最硬的骨头，2025年终于被啃下来了。
纽约大学的王虹和不列颠哥伦比亚大学的乔舒亚·扎尔（Joshua Zahl），拿出了数学界期待已久的终极答案。他们不仅证明了三维卡凯亚猜想是真的，而且是硬生生把维度从2.5一点点往上抬，最后顶到3。
2022年，他们已经解决了一部分特定类型的卡凯亚集问题，但还差最后的关键一步。这一次，他们找到了数学家格思（Larry Guth）在2014年提出的一个概念——颗粒性（graininess）。
简单来说，如果三维卡凯亚集真的低于3维，它就必须呈现出一种“颗粒状”的结构，也就是很多小块区域被极端压缩，形成某种特殊的“颗粒”。
王虹和扎尔直接绕过了那些复杂的“幽灵轨迹群”，盯住这些颗粒的排列方式。他们发现，无论你怎么挤压这些颗粒，它们的重叠程度总是达不到让维度低于3的程度。这就意味着，三维卡凯亚猜想成立。
这一步，不是找出一个具体的例子来说明，而是建立了一整套理论框架，把所有可能的卡凯亚集都包括进去，直接堵死了反例存在的可能性。
这就是数学界梦寐以求的终极证明。
这项证明的意义，不需要夸张的修辞。数学界的重量级人物卡茨（Nets Katz）一句话概括了它的地位：“这是一个‘百年一遇’的成果。”
为什么？因为整个调和分析（harmonic analysis）领域，有一座“猜想塔”（Tower of Conjectures），卡凯亚猜想就是最底层的地基。如果这个地基塌了，整个塔都会倒；但现在地基被证实稳固无比，这座塔不仅不会倒，反而有了继续向上的可能。
下一个目标，四维空间。
三维卡凯亚猜想被攻破之后，四维的版本还没解决，塔上面的几个更高级别的猜想也在等待突破。但数学家们普遍认为，从二维到三维的难度最大，现在三维搞定了，四维的突破指日可待。
很多人可能会问，这跟我们有什么关系？
很简单，卡凯亚问题影响傅里叶变换，而傅里叶变换是信号处理、AI、物理学、量子计算的基石。你手机里的图像压缩算法、无线通信、医学影像处理，甚至ChatGPT的底层数学，都跟傅里叶分析密不可分。
换句话说，这项突破，不只是数学界的胜利，而是整个科学计算体系的一次底层升级。50年，一个数学谜题，终于落地。
来源：老胡说科学