摘要：焦距的定义与几何光学基础焦距（focal length）是描述光学系统汇聚或发散光线能力的物理量，定义为光心（或镜面顶点）到焦点（平行光经系统后汇聚的点）的距离。对于凸透镜和凹面镜，焦距为正值；凹透镜和凸面镜则为负值。根据费马原理，光在任意介质中传播的路径满足
光学作为物理学的重要分支，研究光的传播、干涉、衍射及成像规律。其中，焦距与成像的关系是几何光学的核心课题，从眼镜矫正视力到天文望远镜探索宇宙，其应用贯穿人类科技史。理解焦距如何决定像的位置、大小和性质，不仅需要掌握实验现象，更需通过数学建模揭示其内在规律。本文将系统推导薄透镜与球面镜的成像公式，分析像差产生的物理机制，并结合波动光学阐明衍射对成像分辨率的限制。
焦距的定义与几何光学基础焦距（focal length）是描述光学系统汇聚或发散光线能力的物理量，定义为光心（或镜面顶点）到焦点（平行光经系统后汇聚的点）的距离。对于凸透镜和凹面镜，焦距为正值；凹透镜和凸面镜则为负值。根据费马原理，光在任意介质中传播的路径满足光程极值条件δ∫n ds=0，其中n为折射率，ds为路径微元。由此可推导出球面折射公式：
n_1/s + n_2/s' = (n_2 - n_1)/R
其中s为物距，s'为像距，R为球面曲率半径。当物距趋近无穷大时，像距即为焦距f'=n_2R/(n_2-n_1)。对于薄透镜，其成像公式简化为高斯公式：
1/s + 1/s' = 1/f
该公式揭示了物像共轭关系，例如当s=2f时，s'=2f，形成等大倒立实像。实验验证中，用He-Ne激光照射焦距10cm的凸透镜，当物距30cm时测得像距15cm，与理论计算1/30+1/15=1/10完全吻合。像的虚实、正倒与放大率计算
像的虚实由光线实际交汇决定：实像可投影于屏，虚像为光线反向延长线的交点。放大率β表征像与物的尺寸比，定义为β=-s'/s。负号表示倒像，例如显微镜物镜的β可达-100倍。对于由两片透镜组成的系统，总放大率为各透镜放大率乘积β_total=β_1×β_2。轴向放大率α则描述物像沿光轴的变形：
α = dn'/dn = -β²
当物体在焦距内（s像差理论与实际成像限制
理想成像仅存在于傍轴近似下，实际系统存在五种赛德尔像差：球差、彗差、像散、场曲和畸变。球差源于非傍轴光线偏离理想焦点，其表达式为纵向球差δs'=Ah²，其中A为球差系数，h为入射高度。例如直径50mm、f/2的透镜在546nm光下的波像差可达3.2λ。彗差表现为离轴点源的彗星状光斑，其大小与视场角θ成正比。像散导致子午焦线与弧矢焦线分离，两者间距Δ=2ftan²θ。通过组合不同折射率的透镜可校正色差，其条件为：
∑(V_i*φ_i)=0
其中V为阿贝数，φ为光焦度。现代相机镜头采用非球面镜和低色散玻璃，使像差降至衍射极限以内。衍射极限与分辨率
波动光学指出，即使完美校正几何像差，成像系统仍受衍射限制。圆孔衍射的艾里斑角半径θ=1.22λ/D，其中D为孔径直径。根据瑞利判据，两物点可分辨的最小角距离即为θ。显微镜的分辨率δx=0.61λ/NA，NA=nsinα为数值孔径。例如油浸物镜（NA=1.4）在405nm激光下分辨率约177nm。空间频率传递函数MTF描述系统对不同频率条纹的响应，理想系统的截止频率ν_c=1/(λF)，F为F数。量子极限下，成像信噪比遵循：
SNR ∝ √(N) = √(ηE*t/hν)
其中η为量子效率，E为光强，t为曝光时间。现代光学系统中的焦距调控技术
变焦镜头通过移动透镜组改变系统焦距，其变倍比Γ=f_max/f_min。内调焦公式给出各组元位移关系：
Δx_1/Δx_2 = -f_1²/f_2²
液态透镜利用电润湿效应实现焦距连续可调，曲率半径R与电压V的关系为：
1/R = (ε_0ε_r V²)/(2γd)
其中γ为表面张力，d为绝缘层厚度。自适应光学通过变形镜实时校正波前畸变，面形调整量Δz(x,y)需满足：
∫∫[∇²Δz - (2π/λ)W(x,y)]² dxdy → min
W(x,y)为波前误差。这些技术将传统焦距概念拓展至动态可编程范畴。
从伽利略望远镜的简单透镜组合到詹姆斯·韦伯太空望远镜的离轴三反系统，焦距与成像理论不断推动光学仪器革新。理解其物理本质与数学表达，不仅能优化现有系统设计，更为突破衍射极限、实现量子成像等前沿研究奠定基础。未来，随着超构表面与计算光学的发展，焦距的定义与应用必将展现出更丰富的
来源：全球家居设计馆