摘要：本文以2025年陕西省西安交大附中中考数学一模试卷中一道动态几何极值问题为研究对象，系统阐述基于四点共圆理论的解题策略。通过构建几何模型，揭示动点轨迹的形成机制，将复杂的动态问题转化为静态几何极值问题，为同类题型的教学与研究提供理论参考。

本文以2025年陕西省西安交大附中中考数学一模试卷中一道动态几何极值问题为研究对象，系统阐述基于四点共圆理论的解题策略。通过构建几何模型，揭示动点轨迹的形成机制，将复杂的动态问题转化为静态几何极值问题，为同类题型的教学与研究提供理论参考。

（2025西安交大附中一模）在边长为6的正方形ABCD中，点E为边AB上动点，以EF为边作等边三角形EFG（点G位于AD上），M为FG中点。求线段EM的最小值。

根据垂线段最短原理，当EM⊥轨迹射线时取得最小值。构建直角三角形CHM（M为垂足），其中：

（二）代数计算

四、教学启示

本研究通过四点共圆理论成功破解动态几何极值问题，验证了几何变换与轨迹分析在中考数学中的重要性。该解法不仅适用于特定题目，更可推广至同类复杂几何问题，为初中数学教学提供了新的方法论视角。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准(2022年版)[S]. 北京师范大学出版社, 2022.

[2] 单墫. 平面几何中的小花[M]. 华东师范大学出版社, 2011.

在2025年陕西省西安交大附中中考数学一模试卷里，有一道题特别“烧脑”，不少同学都在这道题上“栽了跟头”。这道题是这样的：给了一个边长为6的正方形ABCD ，点E在边AB上，然后以EF为边作等边三角形EFG ，这个点G落在AD上，而M是FG的中点，最后要我们求线段EM的最小值。

乍一看，这题可真不简单。点E、F、G都是动点，相互之间还有关联，M又跟着FG动，这可怎么找它的最小值呢？别急，咱们一步步来分析。

先从等边三角形EFG入手。因为它是等边三角形，M又是FG的中点，根据等边三角形“三线合一”的性质，连接EM后，就有EM⊥FG，而且∠FEM是∠FEG的一半，等边三角形每个角都是60°，所以∠FEM = 30°。

再看看正方形ABCD，它的∠D是直角，也就是90°。

现在把目光聚焦在四边形DEMF上，我们发现∠D = 90°，∠EMF = 90°，这意味着∠D + ∠EMF = 180°，也就是四边形DEMF的对角互补。

在数学里，有个很重要的结论：对角互补的四边形四个顶点共圆。所以，D、E、M、F这四点是共圆的。

四点共圆有什么用呢？用处可大了！根据同弧所对的圆周角相等这个性质，我们能得到∠MDF = ∠FEM。前面已经算出∠FEM = 30°，所以∠MDF = 30°。

这可是个关键发现，不管点E、F、G怎么动，只要这个图形的基本条件不变，∠MDF 始终是30° 。

这就说明点M的运动是有规律的，它的轨迹是一条射线，这条射线和CD的夹角是30°。现在问题就变成了求点E到这条射线的最短距离。

数学里有个很常用的原理，就是垂线段最短。所以当CM垂直于这条射线的时候，CM的值最小。这时候，我们过点E作这条射线的垂线，就会得到一个直角三角形。

在这个直角三角形里，有一个角是30°，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边是斜边的一半。在这道题里，我们可以通过正方形的边长和一些几何关系，就能算出EM的最小值啦。

这道题乍一看很难，但只要我们找到关键的几何关系，像四点共圆这些，把复杂的动态问题转化成我们熟悉的几何模型，就能轻松解决。大家以后遇到类似的题，也可以从这些角度去思考哦！

注意到，文海平老师也写了这道题，可参考：

题源出处：

阿山上题老师写的

题目分析

求CM的最小值，发现点C是定点，点M随点E的运动而变化，那点M的轨迹是什么呢？发现点M的轨迹即可求

解题过程

第一步

连接EM,三线合一，发现EM⊥GF

第三步

第四步

第五步

总结

反思1：有老师问这道题，用GGB好画吗？当然可以啊！

上述笔者正是利用GGB绘制的，实际上，几何画板能画的，GGB当然可以画得更快更好啊（GGB的指令制图要快一些）

而且可以利用最小值点的指令，快速得到答案~！

关于最小指点的指令，笔者在新书利用好几页讲清楚了它的用法！

有兴趣的可以参考，可以在中大出版社的天猫旗舰店购买。

目前可以在中山大学出版社（国家一级出版社）的天猫旗舰店上购买了。购买的网址如下：

https://main.m.taobao.com/detail/index.html?id=900961381972&spm=a21dvs.23580594.0.0.2b532c1bNbXN1U&skuId=5923282226385&fromNormal=true&fromSecurity=true

中大出版社一开始给书的定价50元，我再三要求希望便宜一些，不能超过50，而且它走的是天猫，现在是45元一本，现在您若需要，可以直接在上述的天猫商店购买（可开发票），印书数量有限，先定先得，谢谢！

来源：中学数学综合题教与学