摘要：有时数学家会直接解决一个问题，有时则会采用迂回的方式。尤其当问题像黎曼猜想这样意义重大时，后者就显得尤为常见。黎曼猜想的解决者将获得克雷数学研究所提供的100万美元奖金。该猜想的证明将让数学家对素数的分布有更深的把握，同时还将带来一系列其他重要的推论——这使得

该证明对著名的黎曼猜想的潜在例外情况设定了更严格的限制。

有时数学家会直接解决一个问题，有时则会采用迂回的方式。尤其当问题像黎曼猜想这样意义重大时，后者就显得尤为常见。黎曼猜想的解决者将获得克雷数学研究所提供的100万美元奖金。该猜想的证明将让数学家对素数的分布有更深的把握，同时还将带来一系列其他重要的推论——这使得它可谓是数学中最重要的未解难题。

数学家尚不知如何证明黎曼猜想。但他们依然可以通过证明该猜想的潜在例外数量有限来获得有价值的结果。

“在很多情况下，这种结果就和黎曼猜想本身一样好，”牛津大学的詹姆斯·梅纳德(James Maynard)说，“我们仍然可以据此得出关于素数的类似结论。”

在去年5月份发布的一项突破性成果中，梅纳德与麻省理工学院的拉里·格思(Larry Guth)设定了某类例外数量的新上限，打破了一个尘封80年的记录。

这是一项轰动性的成果，”罗格斯大学的亨里克·伊瓦涅茨(enryk Iwaniec)示，“它非常非常非常难，但确实是一颗宝石。”

这项新证明自动带来了对短区间内素数数量的更好估计，也有望揭示素数行为的更多奥秘。

黎曼猜想是关于数论中一个核心公式，涉及黎曼函数，函数是以下简单求和的推广：

这个级数会随着添加越来越多的项而变得无限大——数学家说它是发散的。但如果我们改为求和：

你会得到，大约等于1.64。黎曼令人惊讶的强大思想，是将这种级数变成一个函数，如下所示：

因此， 是无穷大，而 。

事情在你令为一个复数时就变得非常有趣了。复数包含两个部分：一个“实部”，就是我们日常使用的普通数字；另一个是“虚部”，它是一个普通数字乘以的平方根(记作)。平面上，实部表示在轴，虚部表示在轴上。例如，复数就是一个这样的例子。

函数以复平面的点作为输入，并输出另一些复数。事实证明，对于某些复数输入，函数的值恰好为零。弄清楚这些零点在复平面上的位置，是数学中最有趣的问题之一。

1859年，伯恩哈德·黎曼猜想所有的零点集中在两条线上。如果你将 函数扩展到可以对负数求值，就会发现它在所有负的偶数(如-2，-4，-6等处的值为零)。这个结论相对容易证明，因此这些零点被称为平凡零点。黎曼进一步猜想，其余所有的零点(称为非平凡零点)的实部都是，因此它们都位于这条垂直的直线上。

这是黎曼猜想，而证明它一直是极其困难的。数学家知道，每一个非平凡零点的实部都必须在0和1之间，但他们无法排除某些零点的实部可能是0.499之类的值。

他们所能做的是证明这种零点必须极其稀少。1940年，英国数学家阿尔伯特·英厄姆（Albert Ingham)提出了一个上界，限制那些实部不等于1/2的零点数量，这个结果至今仍被数学家当作参考基准。

几十年后，在1960和70年代，其他数学家研究如何将英厄姆的结果转化为关于素数分布的陈述，例如：当你在数轴上向右移动时，素数之间的间隔会如何变化，或它们可能形成的其他模式。同时，数学家们也引入了新技术，改进了英厄姆关于实部大于3/4的零点的界限。

事实证明，最关键的是实部恰好为3/4的那些零点。“关于素数的许多重大成果，其限制都源于我们对实部为3/4的零点理解不足，”梅纳德说。

大约十年前，梅纳德开始思考如何改进英厄姆对这类零点的估计。

这是我在解析数论中最喜欢的问题之一，”他说。“它总让人觉得，只要再努力一点，你就能取得突破。”但年复一年，无论他多少次回到这个问题上，他总是陷入困境。“它几乎像是在诱惑你，表面看起来很无害，实际上远比你想的复杂。”

然后在2020年初，一次飞往科罗拉多参加会议的航班上，一个想法突然浮现于他的脑海。梅纳德心想，也许数学中另一个领域——调和分析(harmonic analysis) 工具会派上用场。

古斯和梅纳德首先将他们想要解决的问题转化为另一个问题。如果存在一个实部不为的零点，那么一个相关的函数，称为狄利克雷多项式，必须在某处取到非常大的值。

因此，要证明黎曼猜想的例外情况很少，本质上等价于要证明：狄利克雷多项式不能太频繁地变得很大。

数学家们接着进行了另一次“翻译”。他们首先利用狄利克雷多项式构造了一个矩阵，也就是一个数字表格。

“数学家都喜欢看到矩阵，因为矩阵是我们非常熟悉的对象，”古斯说。“你要学会时刻保持敏锐，因为矩阵无处不在。”

矩阵可以“作用于”一个称为向量的数学箭头。向量具有长度和方向。矩阵通常会改变向量的长度和方向。有时候，会存在一些特殊的向量，它们通过矩阵变换后只改变长度而不改变方向，这些向量称为特征向量。而对应的长度变化大小则称为特征值。

古斯和梅纳德将问题重新表述为关于这个矩阵的最大特征值的问题。如果他们能够证明这个最大特征值不会太大，那他们的问题就解决了。

为此，他们利用一个公式，将问题转化为一个复杂的求和表达式，并努力寻找方法，使这个和式中正值与负值尽可能地互相抵消。

“你必须重新排列这个数列，或者从正确的角度去看它，才能发现某种对称性，从而实现抵消，”古斯说。

这个过程包含了几个令人意外的步骤，其中之一就是梅纳德称为“至今看起来仍有点神奇”的关键想法。有一次，他们面临一个显然应该采取的简化步骤，但他们选择了放弃简化，保留了更长更复杂的形式。

“我们干了一件乍一看完全愚蠢的事：我们拒绝进行标准的简化，”梅纳德说，“而这也意味着我们放弃了很多，因为这让我们无法对这个和式进行常规的估计。”

但从长远来看，这却是一着妙棋。

“在国际象棋里，这叫弃子争先，你牺牲一枚棋子以获得更好的局势，”梅纳德说。

古斯将其比作玩魔方：“有时你必须打乱之前的步骤，让一切看起来更糟，才能最终将更多颜色归位。”

“你必须非常有勇气，才能舍弃一个显而易见的改进，并寄希望于日后能够找回它，”牛津大学数学家、梅纳德的前导师罗杰·希斯-布朗(Roger Heath-Brown)说。 “这违背了我一向认为在数学中应该坚持的做法。”

事实上，他还补充道，谈及自己在这个问题上的研究经历：

“现在想想看，那正是我当时卡住的地方。”

梅纳德表示，正是古斯作为一位调和分析专家，而非数论学家的身份，使得这一“弃子策略”成为可能：

“他没有被这些‘规则’刻在脑子里，所以他更乐于尝试一些‘逆常规’的思路。”

最终，他们成功地对最大特征值给出了一个足够好的上界，这又转化为对可能违背黎曼猜想的零点数量给出了更优的界限。虽然他们的研究起初受到调和分析思想的启发，但数学家们最终将那些更复杂的技巧从证明中剔除了。

“现在看起来，完全像是我40年前可能会尝试做的事情，”希斯-布朗说。

通过对实部为的零点数量给出更好的上界，古斯和梅纳德自然而然地在素数分布方面得出了新的结果。例如，在某个区间内素数数量的估计，通常在区间变短时会变得不准确。新成果使得数学家可以在更短的区间内获得准确的素数估计。

数学家们猜测，这项工作也有望改进关于素数的其他命题，而且古斯和梅纳德的方法似乎还有进一步推进的空间。

但梅纳德表示：“我认为这些并不是解决黎曼猜想本身的正确技术。这仍然需要来自其他地方的某个重大思想。”

来源：风度聊健康一点号