摘要：仅知顶点坐标，如何求三角形的面积？掌握并利用向量外积及其几何意义，答案只需口算即可！

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仅知顶点坐标，如何求三角形的面积？掌握并利用向量外积及其几何意义，答案只需口算即可！

如图一，

图一

已知顶点A(a,b)和顶点B(c,d)，求三角形AOB的面积。

①向量OA=(a,b)与向量OB=(c,d)的外积为(a,b)×(c,d)：仍是1个向量，其大小等于二阶行列式

图二

=ad-bc，其方向垂直坐标平面xoy，即平行于三维笛卡尔坐标系中的z轴，若ad-bc＞0，则为z轴方向，若ad-bc＞0，则为z轴反方向。

②向量OA与向量OB的外积的几何意义：两向量外积的模等于以向量OA和向量OB为边所围平行四边形的面积，即2S△ABC=丨ac-bd丨，从而S△ABC=丨ac-bd丨/2。

例1

图三

解法一：向量外积！口算即可

直接套用公式S△AOB=丨2×3-7×(-2)丨/2=10。

解法二：余弦定理+正弦定理！计算量太大，非常容易算错

①OA=√53，OB=√13，AB=4√2。

②由余弦定理cos∠AOB=(OA²+OB²-AB²)/(2×OA×OB)=17√53×√13/(53×13)=17√689/689，从而sin∠AOB=20√689/689。

③由正弦定理S△ABC=1/2OA×OB×sin∠AOB=10。

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来源：琼等闲