摘要：很多人学不好微分几何，不是因为数学不行，而是选错了路径。基础打得不牢，书选得不对，教材啃得太早，概念跳过太多，最后只能浅尝辄止。结局只有一个：半懂不懂。

很多人学不好微分几何，不是因为数学不行，而是选错了路径。基础打得不牢，书选得不对，教材啃得太早，概念跳过太多，最后只能浅尝辄止。结局只有一个：半懂不懂。

第一件事，别急着动手做题，先搞清楚“你要学的东西”是什么。微分几何不是单纯的几何，它是“微积分+几何”的混合体，本质是用微积分的方法研究光滑空间的局部结构，说白了，是研究“弯曲”。

搞不懂“弯曲”，别谈微分几何。

第二件事，先补好三门功课：微积分、线性代数、实分析。光滑流形上所有的分析操作，基本都靠这三科打地基。

特别提醒：没有实分析的训练，做不来证明；没有线性代数的掌握，理解不了切空间；没有多元微积分，根本跟不上计算。

第三件事，不要一上来就啃主流教材。太早读Spivak、do Carmo、Lee，不是拉开差距，是提前放弃。

先回头读历史。Greenberg的《Euclidean and Non-Euclidean Geometries》，从欧几里得到黎曼，把几何的演化路径讲清楚。这不是副本任务，这是正主入门。你连平行公设的争论都没看懂，怎么理解高维空间的局部结构？

第四件事，搞清楚“流形”和“曲面”不是一码事。前者抽象，后者具体，前者是概念空间，后者是例子世界。真正要入门微分几何，不能绕过“曲面”。

推荐三本书，Marco do Carmo《Differential Geometry of Curves and Surfaces》、Barrett O'Neill《Elementary Differential Geometry》、Andrew Pressley《Elementary Differential Geometry》。只选一本，不要贪多，吃透。

第五件事，开始攻“流形”概念。别急着看Spivak的五卷套，太早。先看John M. Lee《Introduction to Smooth Manifolds》或Loring Tu的《An Introduction to Manifolds》。两本都是“上得了研究生，下得了本科生”的好书。

别被术语吓退。什么Chart、Atlas、Homeomorphism，翻几页就习惯了。最重要的是看图，动手画，眼睛不信，手会信。

第六件事，记住这几个词：切空间、向量场、微分形式、黎曼度量、测地线、协变导数。这是微分几何的基本操作，一项都不能漏。它们不光是定义，而是工具，是你理解流形结构的抓手。

第七件事，搞清楚“平滑”是啥意思。光滑函数，是可以无限次求导的函数。平滑流形，是可以拼接出一整套无限可导坐标图的空间。没有这套语言体系，所有的黎曼度量、测地线方程都无从下笔。

别犯错。微分几何不讲“大局”，只讲“局部”。是局部研究的艺术。研究每个点的邻域，看它像不像欧几里得空间。能贴坐标，就能动微分；不能贴，就只能干瞪眼。

别被拓扑吓退。真正实用的微分几何，不依赖于高深的点集拓扑。会开图，会换坐标，会算导数，你就能学。MIT、Notre Dame、Radboud 三个大学的公开课，讲得明明白白。

最后，别乱买书。现在的最大问题不是资料太少，而是太多。书太多是灾难，视频太多是混乱。一次只读一本，视频只看一个系列，路径选对，时间才不会被浪费。

选书之前，先看目录，看是不是从“曲线”讲起，是不是避免用了代数拓扑，是不是全书配图详细，有没有练习题。能满足这几点，才是合适的第一本书。

搞懂这些，微分几何就不是难事。它不拒绝你，但会试探你。你走对第一步，后面才能走得稳。

差不多就这些了。你该动手了。

来源：老胡科学一点号