PNAS: 一拉就折？科学家揭示材料“反直觉”屈曲折叠新机制

摘要：在我们的日常经验中，想让一张纸或薄膜折起来，往往需要“压”：用手压、工具挤、或者在表面划出折痕；想通过屈曲使板壳发生面外变形，在绝大多数情况下，对其施加的载荷都是压缩力，比如用手在两端按压一张纸牌。

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在我们的日常经验中，想让一张纸或薄膜折起来，往往需要“压”：用手压、工具挤、或者在表面划出折痕；想通过屈曲使板壳发生面外变形，在绝大多数情况下，对其施加的载荷都是压缩力，比如用手在两端按压一张纸牌。

而在一项近日发表于《美国国家科学院院刊》（PNAS）的最新研究，却颠覆了这一直觉：拉伸一张纸(薄板)，同样可以使之出现屈曲和折叠变形。这一反直觉的变形行为，被研究人员命名为“TUG Folding”——局部拉伸诱导的显著折叠（Localized Tension-induced Giant Folding），取意为拉伸(tugging)造成的变形行为。5月12日，PNAS在线刊发了这篇研究论文，题为“Localized tension–induced giant folding in unstructured elastic sheets”。

研究灵感和实验

这项研究的灵感，来自一个有趣的发现，我们邀请读者也亲自动手试验一下：把一张白纸任意团成一团后展开，用两手分别捏住短轴边缘的两个中点（图1A）。只须轻轻一拉，就能让这张纸折起来（图1B）。

图1 一张通过局部拉伸被整体折叠的纸。(A) 拉伸前的平面状态；(B) 拉伸后的折叠状态。

这里包含两个值得注意的点：(i) 施加的是局部载荷，却使这张纸出现了显著的全局变形；(ii) 长轴方向的拉伸，使一张纸沿短轴方向出现了折叠。为了理解这些现象，研究人员设计了一组更为简单且全面的实验。在实验中，研究人员使用激光切割出尺寸规则的光滑PVC柔性薄膜（图2A），没有任何预制褶皱、缺口或花纹。他们在薄膜短边的中间夹持一小块局部区域，并施加纵向拉力。仅仅几毫米的拉伸变形之后，薄膜中央区域突然垂直方向隆起，形成一道清晰的折叠。整个过程无需外部压缩，也没有结构诱导，是材料在拉伸下自发产生的几何折叠（图2A）。研究人员将其命名为 TUG Folding，表达出局部的拉力能诱发巨大的折叠行为。同时，折叠角度 α 与拉伸应变 ε 之间呈幂律关系：α∝ε³⁄⁴（图2B），体现出典型的几何放大效应。

图2 TUG Folding实验演示与变形角度测量。(A) 实验装置中对柔性薄膜短边中部施加纵向拉力，导致膜体中央区域发生显著折叠；(B) 折叠角度 α 与局部拉伸应变 ε之间呈幂律关系 α ∝ε³⁄⁴，揭示几何放大效应。

力学模拟和理论分析

传统力学中，折叠通常来源于压缩。但在 TUG Folding 中，材料整体是在受拉，为什么还会折叠呢？答案隐藏在应力的几何分布中（图3）：由于拉力仅在局部施加，对两侧区域产生了类似扭矩的作用效果发生旋转，纵向被拉伸的同时，夹持垂直方向上出现了压缩；压应力触发了类似屈曲的不稳定，从而触面外折叠（图3A,B）。这是一种几何诱导的非线性响应。与之相对应的是边缘全局受拉，也就是人们所熟知的诱发褶皱（wrinkling）形成的情况，边界使材料内部为零扭矩，不会因为旋转而受压，因此垂直方向上的压应力是材料的泊松比效应诱发的，只有在泊松比较大时才会产生，且压应力的值较小（两个数量级），需要的临界拉伸变形较大，但产生的变形有限（图3C,D）。因此，研究人员发现的局部拉伸下的折叠机制与较为熟知的褶皱诱发机理显著不同，不受泊松比的限制。

图3 几何诱导应力重分布与折叠机制。(A) 示意图说明局部拉伸引起边界收缩、进而诱发垂直方向的折叠；(B) 数值模拟显示，局部拉力在远离夹持的区域诱发横向压应力（蓝色区域），成为折叠的力源；(C) 示意图说明全局拉伸诱发褶皱的情况；(D) 这种现象为材料的泊松比效应诱发，与此文章发现的机制在应力分布上有较大不同。

为了验证这一机制的普适性与可控性，研究团队进行了系统的分析，基于薄板的非线性几何方程，理论建模推导应变与折角之间的关系；并通过有限元模拟，数值仿真重建折叠形态，确认力分布与变形过程（图4A）。结果表明，TUG Folding 在多种边界条件下均能稳定发生，且折叠角度 α 与应变 ε 呈幂律关系（图4B），展现出高度一致性。进一步的理论分析表明，所有实验和模拟的数据（不同厚度/宽度比例(t/W)、不同泊松比(n)、不同长宽比(L/W)）在归一化处理后可以统一到一条主趋势线，展示出几何放大α ∝ε³⁄⁴的本质规律（图4C）。这一发现说明，这不是偶然现象，而是一种可预测、可调控、可设计的变形机制。

图4薄膜折叠形态与变形规律。(A) 有限元模拟显示中部隆起折叠区域的形貌；(B)折叠角度(a)随应变(e)的演化呈幂律趋势，在不同尺寸比下均表现出高度一致性；(C) 归一化变量下的折叠响应统一曲线。

回到最初那张揉皱的纸（Crumpled Paper）的实验——其实一张普通的A4纸也可以通过同样的拉伸产生折叠，不过需要较大的力才能产生明显的变形——通过引入折痕（Creases），降低了材料的有效模量Y，并提高了材料的有效弯曲刚度B，使得人可以轻易控制折叠的产生。这与研究人员发现的规律，即在相同的应变(e/ec)下

相符合。因此，研究发现的这一折叠机制应用广泛，不仅在均匀光滑的材料，而且在表面结构材料中也同样适用，将在柔性器件、可展开结构、软体机器人等领域发挥作用。

新加坡南洋理工大学Kexin Guo (郭可心) 博士和英国牛津大学 Marc Suñé 博士为本文共同第一作者，南洋理工大学K. Jimmy Hsia (夏焜) 教授、伯明翰大学Mingchao Liu (刘明超)教授和牛津大学Dominic Vella 教授为本文共同通讯作者，南洋理工大学本科生Ming Li Kwok也参与了该研究。