摘要：西安的中考生和家长注意！数学想要在中考中脱颖而出，攻克八年级重难点是关键。今天带来升级版 48 个考点公式解析，结合近年高难度中考真题和模考 “压轴题”，助你突破高分瓶颈！
西安的中考生和家长注意！数学想要在中考中脱颖而出，攻克八年级重难点是关键。今天带来升级版 48 个考点公式解析，结合近年高难度中考真题和模考 “压轴题”，助你突破高分瓶颈！
高难真题：（2023 年西安中考压轴题）已知一次函数\(y=(m - 2)x + 2m + 1\)，当\(-1≤x≤3\)时，函数值\(y\)的取值范围是\(4≤y≤16\)，求m的值。解析：当m - 2＞0，即m＞2时，y随x增大而增大。则\(x = -1\)时，\(y = 4\)；\(x = 3\)时，\(y = 16\)。代入函数可得方程组\{cases}-(m - 2)+2m + 1 = 43(m - 2)+2m + 1 = 16解第一个方程\(-m + 2 + 2m + 1 = 4\)，得\(m = 1\)，不满足\(m＞2\)，舍去；解第二个方程\(3m - 6 + 2m + 1 = 16\)，\(5m = 21\)，(m = 21/5，满足条件。当\(m - 2＜0\)，即\(m＜2\)时，\(y\)随\(x\)增大而减小。则\(x = -1\)时，\(y = 16\)；\(x = 3\)时，\(y = 4\)。代入函数可得方程组{cases}-(m - 2)+2m + 1 = 163(m - 2)+2m + 1 = 4，解第一个方程得\(m = 13\)，不满足\(m＜2\)，舍去；解第二个方程得\(m = \frac{9}{5}\)，不满足\(m＜2\)，舍去。综上，\(m = 21/5
解析：将原式变形为\((x + y)³ - (x³ + y³)\)，根据公式\(x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²)\)，则原式\(=(x + y)³ - (x + y)(x² - xy + y²)=(x + y)[(x + y)² - (x² - xy + y²)]\)，展开中括号内式子得\((x + y)(x² + 2xy + y² - x² + xy - y²)=(x + y)×3xy = 3xy(x + y)\)。
高难真题：（2021 年西安中考）如图，在\(\triangle ABC\)中，\(AB = 13\)，\(BC = 14\)，\(AC = 15\)，求\(BC\)边上的高\(AD\)的长。解析：设\(BD = x\)，则\(CD = 14 - x\)。在\(Rt\triangle ABD\)中，根据勾股定理\(AD² = AB² - BD² = 13² - x²\)；在\(Rt\triangle ACD\)中，\(AD² = AC² - CD² = 15² - (14 - x)²\)。所以\(13² - x² = 15² - (14 - x)²\)，展开得\(169 - x² = 225 - (196 - 28x + x²)\)，\(169 - x² = 225 - 196 + 28x - x²\)，\(28x = 140
\)，解得\(x = 5\)。
则\(AD = \sqrt{AB² - BD²}=\sqrt{13² - 5²}=\sqrt{169 - 25}=\sqrt{144} = 12。
核心定理：相似三角形对应边成比例；平行四边形对边平行且相等。高难真题：（2020 年西安模考）在平行四边形\(ABCD\)中，\(E\)是\(BC\)上一点，\(AE\)交\(BD\)于点\(F\)，若\(BE:EC = 2:3\)，且\(S_{\triangle BEF}=4\)，求\(S_{\triangle ADF}\)。解析：因为四边形\(ABCD\)是平行四边形，所以\(AD∥BC\)，则\(\triangle BEF\sim\triangle DAF\)。由\(BE:EC = 2:3\)，可得\(BE:BC = 2:(2 + 3)=2:5\)，又因为\(AD = BC\)，所以\(BE:AD = 2:5\)。根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可知\(\frac{S_{\triangle BEF}}{S_{\triangle ADF}} = (\frac{BE}{AD})² = (\frac{2}{5})² = \frac{4}{25}\)，已知\(S_{\triangle BEF}=4\)，则\(S_{\triangle ADF}=4×\frac{25}{4}=25\)。
公式：方差\(S²=\frac{1}{n}[(x_1 - \bar{x})² + (x_2 - \bar{x})² +··· + (x_n - \bar{x})²]\)，方差越大，数据波动越大。高难真题：（2019 年西安中考）已知一组数据\(x_1\)，\(x_2\)，···，\(x_n\)的方差是\(2\)，求数据\(2x_1 + 3\)，\(2x_2 + 3\)，···，\(2x_n + 3\)的方差。解析：设数据\(x_1\)，\(x_2\)，···，\(x_n\)的平均数为\(\bar{x}\)，则方差\(S²=\frac{1}{n}[(x_1 - \bar{x})² + (x_2 - \bar{x})² +··· + (x_n - \bar{x})²]=2\)。新数据\(2x_1 + 3\)，\(2x_2 + 3\)，···，\(2x_n + 3\)的平均数为\(2\bar{x} + 3\)，其方差\(S_1²=\frac{1}{n}[(2x_1 + 3 - (2\bar{x} + 3))² + (2x_2 + 3 - (2\bar{x} + 3))² +··· + (2x_n + 3 - (2\bar{x} + 3))²]=\frac{1}{n}[(2x_1 - 2\bar{x})² + (2x_2 - 2\bar{x})² +··· + (2x_n - 2\bar{x})²]=\frac{1}{n}[4(x_1 - \bar{x})² + 4(x_2 - \bar{x})² +··· + 4(x_n - \bar{x})²]=4×\frac{1}{n}[(x_1 - \bar{x})² + (x_2 - \bar{x})² +··· + (x_n - \bar{x})²]=4×2 = 8\)。
内角和定理：三角形内角和为\(180°\)三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边真题链接：（2020 年西安中考）一个三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边长是方程\(x² - 10x + 21 = 0\)的根，则三角形的周长为？解析：先解方程\(x² - 10x + 21 = 0\)，即\((x - 3)(x - 7)=0\)，解得\(x = 3\)或\(x = 7\)。当\(x = 3\)时，\(3 + 3 = 6\)，不满足三边关系，舍去；当\(x = 7\)时，满足三边关系，此时周长为\(3 + 6 + 7 = 16\)。性质：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分判定：两组对边分别平行 / 相等；一组对边平行且相等；两组对角分别相等；对角线互相平分的四边形是平行四边形真题链接：（2019 年西安模考）在四边形 ABCD 中，AB∥CD，要使四边形 ABCD 是平行四边形，可添加的条件是算术平均数：\(\bar{x}=\frac{x_1 + x_2 +··· + x_n}{n}\)加权平均数：\(\bar{x}=\frac{x_1f_1 + x_2f_2 +··· + x_nf_n}{f_1 + f_2 +··· + f_n}\)（\(f_i\)为\(x_i\)的权）真题链接：（2018 年西安中考）某中学规定学生的学期体育成绩满分为 100 分，其中课外体育占 20%，期中考试成绩占 30%，期末考试成绩占 50%。小彤的这三项成绩（百分制）依次为 95，90，88，则小彤这学期的体育成绩为？解析：用加权平均数计算，\(95×20\% + 90×30\% + 88×50\% = 19 + 27 + 44 = 90\)分
概率公式：\(P(A)=\frac{m}{n}\)（\(n\)是总情况数，\(m\)是事件\(A\)发生的情况数）真题链接：（2023 年西安模考）一个不透明的袋子中装有 3 个红球和 2 个白球，这些球除颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为？解析：总共有\(3 + 2 = 5\)个球，红球有 3 个，所以\(P(摸出红球)=\frac{3}{5}\)
三角形
内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°，即∠A + ∠B + ∠C = 180° 。外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，例如∠ACD = ∠A + ∠B 。三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 。三边关系：定理：三角形两边的和大于第三边，即 a + b > c ，a + c > b ，b + c > a 。推论：三角形两边的差小于第三边，即 | a - b| 面积公式：通用公式：\(S=\frac{1}{2}ah\)（a 表示三角形的底，h 表示这条底边对应的高） 。海伦公式：已知三角形三边分别为 a、b、c ，设\(p=\frac{a + b + c}{2}\)，则面积\(S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}\) 。坐标公式：若三角形三顶点坐标分别为\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(C(x_3,y_3)\) ，则\(S=\frac{1}{2}\left|x_1(y_2 - y_3)+x_2(y_3 - y_1)+x_3(y_1 - y_2)\right|\) 。全等判定：边角边公理（SAS）：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 。角边角公理（ASA）：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 。角角边推论（AAS）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 。边边边公理（SSS）：有三边对应相等的两个三角形全等 。斜边、直角边公理（HL）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 。特殊三角形：等腰三角形：性质：等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角） ；等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 ；等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60° 。判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） ；三个角都相等的三角形是等边三角形 ；有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形 。直角三角形：性质：直角三角形的两个锐角互余 ；在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半 ；直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 ；勾股定理：直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\) 。四边形内角和等于 360°，即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360° 。四边形外角和等于 360° 。多边形内角和定理：n 边形的内角和等于\((n - 2)\times180°\) 。多边形外角和推论：任意多边形的外角和等于 360° 。平行四边形：性质：平行四边形的对角相等，即∠A = ∠C ，∠B = ∠D 。平行四边形的对边相等，即 AB = CD ，AD = BC 。夹在两条平行线间的平行线段相等 。平行四边形的对角线互相平分，即 AO = CO ，BO = DO 。判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 。两组对边分别相等的四边形是平行四边形 。对角线互相平分的四边形是平行四边形 。一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 。面积公式：\(S = ah\)（a 为平行四边形的底，h 为这条底边上对应的高） 。矩形：性质：矩形的四个角都是直角 。矩形的对角线相等 。判定：有三个角是直角的四边形是矩形 。对角线相等的平行四边形是矩形 。面积公式：\(S = ab\)（a 为长，b 为宽） 。菱形：性质：菱形的四条边都相等 。菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 。菱形面积：\(S=\frac{1}{2}ab\)（a、b 为两条对角线的长度） 。判定：四边都相等的四边形是菱形 。对角线互相垂直的平行四边形是菱形 。正方形：性质：正方形的四个角都是直角，四条边都相等 。正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 。判定：先判定是矩形，再证明一组邻边相等 。先判定是菱形，再证明有一个角是直角 。面积公式：\(S = a^{2}\)（a 为边长） 。等腰梯形：性质：等腰梯形在同一底上的两个角相等 。等腰梯形的两条对角线相等 。判定：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 。对角线相等的梯形是等腰梯形 。面积公式：\(S=\frac{1}{2}(a + b)h\)（a、b 为梯形的上底和下底，h 为梯形的高） 。梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半，即\(L=\frac{a + b}{2}\)（L 为中位线长度，a、b 为上底和下底） ，梯形面积还可表示为\(S = Lh\) 。圆形相关概念：圆是定点的距离等于定长的点的集合，定点称为圆心，定长称为半径 。圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 。圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 。同圆或等圆的半径相等 。周长公式：\(C = 2\pi r=\pi d\)（r 为半径，d 为直径） 。面积公式：\(S=\pi r^{2}\) 。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 。推论 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 。平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等 。圆心角、弧、弦关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等 。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等 。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 。推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 。推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径 。推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 。圆内接四边形性质定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角 。直线与圆的位置关系：设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d 。直线 L 和⊙O 相交：d 直线 L 和⊙O 相切：d = r 。直线 L 和⊙O 相离：d > r 。切线的判定与性质：判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 。性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 。推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 。推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 。扇形：弧长公式：\(l=\frac{n\pi r}{180}\)（n 为圆心角度数，r 为半径） 。面积公式：\(S=\frac{n\pi r^{2}}{360}=\frac{1}{2}lr\)（l 为弧长，r 为半径） 。圆环：圆环周长：\(C = 2\pi R+2\pi r\)（R 为外圆半径，r 为内圆半径） 。圆环面积：\(S=\pi(R^{2}-r^{2})=\pi(R + r)(R - r)\) 。弓形：设弓形 AB 所对的弧为弧 AB 。面积公式：\(S=\pi ab\)（a 为长半轴长，b 为短半轴长） 。这里只是部分考点公式及真题示例，八年级重难点 48 个考点公式涵盖代数、几何、统计与概率等多方面。完整内容需要同学们系统梳理总结，通过不断练习真题和模拟题，加深对公式的理解与运用。只有熟练掌握这些公式，才能在考场上游刃有余，斩获高分！建议同学们准备专门笔记本，整理公式及典型例题，时常复习巩固。家长们也要督促孩子重视数学学习，及时解决学习中遇到的问题。祝愿每位考生都能在中考数学中取得优异成绩，进入理想高中！
来源：哲瀚教育
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