摘要：①在AB上找一点E，使得∠ADE=∠ABD，则△ADE∽△ABD，从而BD/AB=DE/AD=DE/BC，AD/AB=AE/AD即AD²=AE×AB。

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九年级数学测试压轴题：如图，

在直角△ABC中，D为AC上一点，AD=BC，求BD/AB的最小值。

注：直角△ABC中，∠A，∠B均不确定，故BD/AB并非定值！

提示：构造相似三角形+补齐长方形+外接圆！

①在AB上找一点E，使得∠ADE=∠ABD，则△ADE∽△ABD，从而BD/AB=DE/AD=DE/BC，AD/AB=AE/AD即AD²=AE×AB。

②补齐以AB和BC为边的长方形ABCF，连接EF，则AF=BC=AD，从而AF²=AD²=AE×AB，即△ABF∽△AEF，故∠AEF=90°。

③由BD/AB=DE/AF可知，BD/AB的最小值问题，转化为AF已知时DE的最小值问题。

④作△AEF的外接圆（AF为直径），圆心记为O，AF=2r。连接OD，则OD=√5r。

⑤连接OE，则DE+OE≥OD，当且仅当O、D、E三点共线时等号成立，此时DE≥OD-OE=(√5-1)r，故BD/AB=DE/AF≥(√5-1)r/2r=(√5-1)/2。

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来源：琼等闲