摘要：全军覆没！成也填空题、败也填空题！有的同学做出了答案√3，却还是得了零分！九年级数学测试填空压轴题：仅一边已知、角度全都未知，咋求三角形面积？如图，

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全军覆没！成也填空题、败也填空题！有的同学做出了答案√3，却还是得了零分！九年级数学测试填空压轴题：仅一边已知、角度全都未知，咋求三角形面积？如图，

在△ABC中，AB=2√3，点D在BC上，AD=AC，CD=2，∠CAD=2∠BAD，求红色阴影三角形ACD面积。

解答一：

由于是填空题，不少孩子通过“设∠BAC=90°”来求解，此时△ACD为等边三角形，故S△ACD=√3。

解答一可能存在的问题：

①若∠BAC=90°，题目条件是否自洽？

验证：

过点A作CD的垂直平分线AE，则AE=√3，DE=CE=1，从而BE=3，BD=2=CD即D为直角三角形ABC斜边中点。题目中所有条件并不矛盾！

②是否还有其他解？换言之，会否遗漏解？

无法验证！

如果计算题，应该怎么做？

有人说，可以证明∠BAC一定为直角！

真是这样的吗？

解析：图形旋转+三角形相似（或角平分线定理）+一元三次方程！

①将△ABD逆时针旋转2α度、至AD与AC重合，旋转后△ABD记为△ACB'，则BD=B'C。

②∠DCB'+∠DCA=∠B'CA=∠BDA=∠DAC+∠DCA，从而∠DCB'=∠DCA=2α。

③记AB'与CD的交点为E，由∠BAB'=2α可知∠B'AD=α=∠CAE，再由AD=AC可知B'A垂直平分CD即∠AED=90°、DE=CE=1。

④由∠DCB'=2α=∠BAB'及∠AED=90°，可知△ABE∽△B'CE，故AB/B'C=AE/CE=BE/B'E。

⑤设AE=x，BD=y，则有2√3/y=x=(1+y)/(2√3-x)，整理可得xy=2√3且y²+y=12-2√3x=(12-2√3x)y/y=(12y-12)/y，即得系数均为有理数的一元三次方程y³+y²-12y+12=0。

⑥分解因式：y³+y²-12y+12=(y-2)(y²+3y-6)=0，求得y=2或-3/2+√33/2或-3/2-√33/2（负数解、直接舍弃）。

⑦验证：

当y=2时，x=√3。此情形解答一已验证！

当y=-3/2+√33/2时，x=(√11+√3)/2。此时BD=-3/2+√33/2，AE=(√11+√3)/2，BE=√33/2-1/2，BE²+AE²=12=AB²。题目条件均不冲突！

⑧S△ABC=√3或(√11+√3)/2。

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来源：琼等闲