摘要：平方根：若\(x^2 = a\)（\(a\geq0\)），则\(x = \pm\sqrt{a}\)，如 9 的平方根为\(\pm3\)（注意区别 “平方根” 与 “算术平方根”，算术平方根仅非负）；

一、代数板块

（一）实数与二次根式

平方根与立方根

平方根：若\(x^2 = a\)（\(a\geq0\)），则\(x = \pm\sqrt{a}\)，如 9 的平方根为\(\pm3\)（注意区别 “平方根” 与 “算术平方根”，算术平方根仅非负）；

立方根：\(\sqrt[3]{8} = 2\)（立方根符号与被开方数一致，无正负之分），是实数运算的基础。

二次根式的性质与运算

加减：先化简为最简二次根式，再合并同类二次根式（如\(2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\)）；

乘除：\(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（\(a\geq0,b\geq0\)），如\(\sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)；\(\sqrt{a} \div \sqrt{b} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（\(a\geq0,b>0\)），避免错算（如\(\sqrt{6} \div \sqrt{2} \neq 3\)，正确结果为\(\sqrt{3}\)）；

平方运算：\((\sqrt{5} + 1)^2 = 5 + 2\sqrt{5} + 1 = 6 + 2\sqrt{5}\)，需用完全平方公式展开，不可漏项；

平方差公式：\((2\sqrt{5} + \sqrt{7})(2\sqrt{5} - \sqrt{7}) = (2\sqrt{5})^2 - (\sqrt{7})^2 = 20 - 7 = 13\)，利用公式简化二次根式运算。

有意义条件：被开方数非负，如\(\sqrt{x - 2}\)有意义需\(x\geq2\)；

化简：\(\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)，需将被开方数化为 “含平方因数” 的形式；

运算规则：

实数与数轴

利用数轴化简绝对值与二次根式：如\(\sqrt{m^2} = |m|\)，结合数轴上m、n的位置（\(m

（二）分式

分式的基本性质与变形

基本性质：分式的分子分母同乘（或除以）同一个不为 0 的整式，分式值不变，如\(\frac{ma}{mb} = \frac{a}{b}\)（\(m\neq0\)）；

易错变形：\(\frac{a + b}{ab} \neq \frac{1 + b}{b}\)（分子分母不可 “部分约分”），\(\frac{b^2 - a^2}{a + b} = \frac{(b - a)(b + a)}{a + b} = b - a \neq a - b\)（注意符号），\(\frac{a}{b} \neq \frac{a^2}{b^2}\)（仅当\(a = b\)或\(a = 0\)时成立）。

分式的值为 0 的条件

需同时满足 “分子为 0 且分母不为 0”，如\(\frac{x^2 - 4}{x + 2}\)的值为 0，需\(x^2 - 4 = 0\)（\(x = \pm2\)）且\(x + 2 \neq 0\)（\(x \neq -2\)），故\(x = 2\)。

分式的运算与化简求值

加减运算：同分母分式直接相加减，如\(\frac{2x^2}{x - y} - \frac{2y^2}{x - y} = \frac{2(x^2 - y^2)}{x - y} = 2(x + y)\)（先因式分解分子，再约分）；

混合运算：如\((x - \frac{4}{x}) \div \frac{5x + 10}{x^2}\)，先通分计算括号内式子\(\frac{x^2 - 4}{x}\)，再将除法转化为乘法\(\frac{(x + 2)(x - 2)}{x} \times \frac{x^2}{5(x + 2)}\)，约分后得\(\frac{x^2 - 2x}{5}\)，结合已知\(x^2 - 2x = 20\)，代入得 4，体现 “先化简，再整体代入” 的思想。

分式方程

解法：去分母（两边乘最简公分母，如\(\frac{x}{x - 3} + \frac{6}{x} = 1\)的最简公分母为\(x(x - 3)\)）、解整式方程、检验（确保最简公分母不为 0，避免增根），如解得\(x = 2\)，检验后确认是原方程的解；

易错点：忘记检验、去分母时漏乘常数项。

二、几何板块

（一）三角形基础性质与全等

等腰与等边三角形

等腰三角形：\(AB = AC\)则\(\angle B = \angle C\)（等边对等角），反之亦然；若\(\triangle ABC\)中\(AB = AC\)，\(\angle BAC = 100^\circ\)，\(\triangle ABD\)为等腰三角形，分 “\(AB = AD\)”（\(\angle ADB = 40^\circ\)，舍去，因D不与C重合）、“\(AD = BD\)”（\(\angle ADB = 100^\circ\)）、“\(AB = BD\)”（\(\angle ADB = 70^\circ\)），故\(\angle ADB = 70^\circ\)或\(100^\circ\)，考查分类讨论；

等边三角形：三边相等、三角均为\(60^\circ\)，中线、高线、角平分线重合，如\(\triangle ABC\)是等边三角形，AD绕A逆时针旋转\(60^\circ\)得AE，则\(\angle BAD = \angle CAE\)，结合\(AB = AC\)、\(AD = AE\)，用 SAS 证\(\triangle ABD \cong \triangle ACE\)，得\(BD = CE\)，体现旋转与全等的结合。

直角三角形

性质：\(\angle C = 90^\circ\)，勾股定理\(a^2 + b^2 = c^2\)，如\(Rt\triangle ACD\)中\(AC = 4\)，\(CD = 3\)，则\(AD = 5\)；

角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等，反之亦然，如\(DE \perp AB\)，\(DC \perp AC\)，\(DE = DC\)，则AD平分\(\angle BAC\)，在\(Rt\triangle ABC\)中\(\angle B = 40^\circ\)，则\(\angle BAC = 50^\circ\)，\(\angle CAD = 25^\circ\)。

全等三角形的判定与应用

已知\(AB \parallel CD\)，则\(\angle B = \angle C\)，\(BF = CE\)则\(BE = CF\)，添加\(AB = DC\)，用 SAS 证\(\triangle AEB \cong \triangle DFC\)；

直角三角形全等：\(AE \perp CD\)，\(BF \perp CD\)，则\(\angle AEC = \angle BFC = 90^\circ\)，\(\angle ACB = 90^\circ\)，\(CA = CB\)，则\(\angle CAE = \angle BCF\)，用 AAS 证\(\triangle ACE \cong \triangle CBF\)，得\(AE = CF\)，\(CE = BF\)，故\(EF = CE - CF = AE - BF\)，且\(\angle EAB = \angle FBA = 45^\circ - \angle CAE\)，故结论①③正确；

判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，需结合已知条件选择：

应用：通过全等推导线段（如\(BD = CE\)）、角相等（如\(\angle CBE = \angle CAP\)），是几何证明的核心工具。

（二）图形变换与特殊线

轴对称与最短路径

轴对称图形：沿一条直线折叠后，直线两旁部分完全重合，如判断图书馆标志是否为轴对称图形；

对称点性质：点B关于直线AC的对称点\(B'\)，则AC垂直平分\(BB'\)，\(AB = AB'\)；

最短路径：如\(\triangle ABC\)是等边三角形，D是AC中点，AE是BC中线，求\(PC + PD\)的最小值，利用轴对称将D关于AE对称至AB中点\(D'\)，则\(PC + PD = PC + PD' \geq CD'\)，\(CD'\)为等边三角形的高，即\(\sqrt{3}\)，考查 “轴对称转化” 思想。

垂直平分线

性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，如PQ是AB的垂直平分线，则\(PA = PB\)，故\(\angle B = \angle PAB\)，结合外角性质\(\angle APC = \angle B + \angle PAB = 2\angle B\)，完成作图与证明。

图形折叠

性质：折叠后对应边、对应角相等，如将\(\triangle DCE\)沿DE翻折，C落在DA上的F处，则\(DF = DC\)，\(EF = CE\)，\(\angle DFE = \angle C = 90^\circ\)，设\(CE = x\)，则\(AE = 4 - x\)，\(AF = AD - DF = 2\)，在\(Rt\triangle AFE\)中用勾股定理\((4 - x)^2 = 2^2 + x^2\)，解得\(x = \frac{3}{2}\)。

（三）新定义与几何综合

“近距” 与 “远距”

定义：点P与线段AB的 “近距” 是PQ的最小值（Q在AB上），即点到线段的垂线段长度；“远距” 是PQ的最大值，即点到线段端点的距离最大值；

应用：如\(\triangle ABC\)中\(\angle CAB = 30^\circ\)，\(AB = 4\sqrt{3}\)，\(AC = 2\)，则 “近距” 为C到AB的高（1），“远距” 为CB的长度（\(2\sqrt{7}\)），考查新定义理解与几何计算。

复杂几何证明

如AD是中线，延长AD至M使\(DM = DA\)，证\(\triangle BDM \cong \triangle CDA\)（SAS），得\(BM = AC\)，\(\angle M = \angle CAD\)，结合\(EA = EF\)得\(\angle CAD = \angle AFE = \angle BFM\)，故\(\angle M = \angle BFM\)，\(BM = BF\)，则\(BF = AC\)，需构建辅助线（延长中线）转化线段关系。

三、概率与实际应用

（一）概率基础

古典概型：概率\(P = \frac{所求事件包含的基本事件数}{所有可能的基本事件数}\)，如袋子中有 3 红 4 黄 2 绿球，摸出红球的概率为\(\frac{3}{3 + 4 + 2} = \frac{1}{3}\)；

随机事件判断：随机事件是 “可能发生也可能不发生的事件”，如 “投掷硬币正面朝上” 是随机事件；“细木条 2cm、3cm、6cm 组成三角形”（不可能事件，因\(2 + 3

（二）分式方程的实际应用

步骤：设未知数（如设引进新设备前每天改造x米）、列方程（\(\frac{210}{x} + \frac{750 - 210}{1.2x} = 22\)）、解方程（\(x = 30\)）、检验（符合实际意义）；

关键：找到等量关系（“旧设备施工时间 + 新设备施工时间 = 总时间”），注意单位统一与增长率的表示（提高 20% 即变为原来的 1.2 倍）。

来源：光明教育