摘要：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.

今天给大家分享一道九年级下册数学二次函数经典压轴题。请看题：

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如图，将抛物线y=x²+bx十c的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象其余部分不变，得到一个新的图象.

①若直线y=x+a与新图象恰好有一个交点，求a的值；

②若直线y=x+a与新图象恰好有3个不同的交点，求a的值；

③若直线y=x+a与新图象有4个不同的交点，求a的取值范围；

（3）设AB的中点为C，在（2）中得到新图像上有两点P（m₁、n₁），Q（m₂、n₂）（m₁

解：(1)将A(-1,0),B(3,0)代入y=X²+bx+c,得

1-b+c=0、9 + 3Ь +с=0

解得b=-2、с=-3

∴该抛物线的解析式为y =x²-2x-3

(2)将抛物线y=x²-2x-3的图象在轴下方的部

分沿X轴翻折到X轴上方，则翻折上来的部分解析式为 у=-х² + 2x+ 3

∵直线y=x+a平行于直线y=x

∴①当直线y=x+a经过点B（3、0）时，直线y=x+a与新图象只有一个交点。把B（3、0）代入y=x+a中得3+a=0，a=-3

∴当a=-3时，直线y=x+a与新抛物线只有一个交点。

②当直线y=x+a经过点A（-1、0）或y=x+a与抛物线y=-X²+2X+3相切时，直线了y=x+a与新图象恰好有三个不同的交点。

当直线y=x+a经过点A(-1,0)时，-1+a =0，a=1

当y=X+a与=-x²+2x+c相切时，联立

y=x+a 与у=-х² + 2х + 3 ，

即方程x²-x+a-3=0 ，

令△=(-1)²-4(a-3)=0 ，解得a=13/4

综上:a=1或a=13/4

③由图象可知，当直线y=x+a与抛物线y=-x²+2x+3有两个交点时，直线与新图象有4个交点，

∴-x²+2x+3=x+a，即X²-X+（a-3）=0

△=（-1）²-4（a-3）>0，解得a＜13/4。

∴若直线y=x+a与新图象恰好有4个不同的交点，a的取值范围是1

(3)∵A（-1,0)、B(3,0), ∴AB的中点C的坐标为(1,0). ∴BC=2. 设四边形BCPQ能构成平行四边形， . РО//СВ 且 РQ=СВ=2.

P(m₁,n₁),Q(m₂,n₂)(m₁

∴P、Q坐标可以表示为P(m₁,n₁),Q(m₁+2,n₁) (如图).

①当m₁

∴n₁=-(m₁+2）²+2(m₁+2)+3, n₁=m₁²-2m₁-3,即-(m₁+2）²+2(m₁+2)+3, =m₁²-2m₁-3，

解得m₁=-√3，n₁=2√3,或m₁=√3，n₁=-2√3，（不合题意，舍去)

∴点P的坐标为(-√3,2/3).

②当-1

∴n₁=-m₁²+2m₁+3，

n₁=-（m₁+2）²+2(m+2)十3，即

-m₁²+2m₁+3，=-（m₁+2）²+2(m+2)+3，

解得，m₁=0，n₁=3

∴点P的坐标为(0,3).

③当1

∴n₁=-m₁²+2m₁+3，

n₁=（m₁+2）²-2（m₁+2）-3

解得m₁ =-√3 , n₁=-2√3（不合题意，舍去)

或m₁=√3,n₁=2√3。

∴点P的坐标为(v3,2/3)

本题是二次函数综合题，主要考查二次函数的性质， 一次函数的性质、二次函数的图象与几何变换，两直线平行时k的值相同等知识，根据题意画出图形，找出新图象与直线y=X+a有1个、3个、4个不同公共点的条件是解题的关键.

来源：一枝寒梅初中英语数学