摘要：题目1：如图1，在非等边△ABC中，点I、O分别是其内心和外心，满足OI⊥AI，则AB+AC=2BC。
题目1：如图1，在非等边△ABC中，点I、O分别是其内心和外心，满足OI⊥AI，则AB+AC=2BC。
证明：作△ABC的外接圆O，延长AI交圆O于点D（图2）。
已知OI⊥AI，根据垂径定理，AI=ID。
根据鸡爪定理，DI=DB=DC，设DI=x，则DI=DB=DC=AI=x，AD=2x。
根据托勒密定理有：
AB·DC+AC·DB=AD·BC，即x·AB+x·AC=2x·BC，化简后，
AB+AC=2BC。
题目2：如图1，点I、O分别是非等边△ABC的内心和外心，OI⊥AI，若AB=2，BC=3，求AC的长（4）。
解题思路：作△ABC的外接圆O，延长AI交圆O于点D（图2），
已知OI⊥AI，根据垂径定理，AI=ID。
根据鸡爪定理，DI=DB=DC，设DI=x，则DI=DB=DC=AI=x，AD=2x。
根据托勒密定理有：
AB·DC+AC·DB=AD·BC，即x·AB+x·AC=2x·BC→AB+AC=2BC→AC=2BC-AB=2x3-2→4。
来源：小米课堂
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