摘要：数学老师把一个两位自然数n的约数个数告诉了甲，把n各个位数的数字之和告诉了乙。甲、乙都绝顶聪明，他们希望自己推导出n的准确值。于是，甲和乙进行了下面的对话：
数学老师把一个两位自然数n的约数个数告诉了甲，把n各个位数的数字之和告诉了乙。甲、乙都绝顶聪明，他们希望自己推导出n的准确值。于是，甲和乙进行了下面的对话：
乙：我不知道n是多少①
甲：我也不知道，但我知道n是否为偶数②
乙：现在我知道n是多少了③
甲：现在我也知道n是多少了④
问：n的值是多少？为什么？
析①
乙说：“我不知道n是多少。”说明乙知道的数字之和对应的所有可能的两位数中，有不止一个可能的n。例如，如果数字之和是1，那么n只能是10，因为10是唯一的两位数，各位数之和为1。但乙说不知道，所以数字之和对应的n不唯一，也就是说，这个数字之和对应的两位数至少有两个可能的值。因此，首先可以排除掉那些数字之和唯一对应的两位数的情况，比如和为1（只有10），和为100（但两位数最大是99，和为18），所以实际上可能的情况是数字之和从2到18之间，但需要排除所有数字之和唯一对应一个两位数的情况
不要怕麻烦，穷举如下：
约数个数数字和对应数字2（质数）2112（质数）413, 312（质数）523, 412（质数）743, 612（质数）853, 712（质数）1037, 732（质数）1147, 832（质数）1367, 972（质数）14592（质数）16792（质数）17893（平方数）7253（平方数）13494110451446154321442247344826, 35492741046, 8241138, 65, 7441239, 5741358, 85, 9441477, 8641569, 875（四次方数）7165（四次方数）981622063126422, 406624, 4267526826, 446945, 6361028, 6461156612666146861798618997（立方数）10648330844085328624, 428770885489728105681188812669936108481012801266012972, 90121284121596析②
甲知道的是约数的个数，也就是n的因数个数。甲根据因数个数无法确定n，但能确定n的奇偶性。这说明，根据约数的个数，甲可以排除一些可能性，从而确定n是奇数还是偶数，从而这个因数个数对应的所有可能的数要么全是偶数，要么全是奇数。例如，如果约数的个数是2，那么n是质数，而两位数的质数除了2之外都是奇数，所以如果甲的约数个数是2，那么n一定是奇数。同时，甲不知道n的值，说明n的约数个数对应的数不唯一，像36（9个约数）、64（7个约数）这种约数个数唯一确定一个数的情况不符合条件，所以n不是36、64
析③
乙根据甲的话（即甲能确定n的奇偶性）以及自己知道的数字之和，排除了某些可能性，从而确定了唯一的n。然后甲也说：“现在我也知道n是多少了。”这说明甲根据乙的结论，再结合自己的因数个数信息，也能确定唯一的n。例如，如果乙的数字之和是6，可能的n有15,24,33,42,51,60。然后根据甲的提示，如果甲确定n是偶数，那么乙可以排除奇数，剩下的偶数中可能有多个，但如果乙的数字之和对应的偶数中只有一个是符合因数个数对应的可能性，那么乙就能确定。又如，假设乙的数字之和是6，可能的偶数是24,42,60。如果甲的因数个数是8，对应的n可能是24（因数个数8）或30（但30的数字和是3），所以需要具体分析
（1）若n两数字和为2，可能的数有11和29。约数个数为6个，不满足甲所说的约数个数情况，11是质数，约数个数为2，满足条件，所以n可能是11
（2）若两数字和为3，可能的数有12（约数个数为6）、21（约数个数为6）、30（约数个数为8）。此时要满足甲所说的约数个数情况，n可能是30
（3）对于其他各位数字之和的大多情况，如两数字和为4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、15、16，对应的数都存在多个满足甲所说的约数个数和奇偶性情况，无法唯一确定n的值
（4）若n两数字和为14，在这些数中只有59满足甲所说的某些情况（这里是奇数且约数个数符合一定范围），所以n可能是59
（5）若n两数字和为17，可能的数有89和98，98不满足甲所说的约数个数情况；89满足条件，所n可能是89
析④
甲听到乙现在知道了，他也能确定n的值，需要检查其他可能的数字是否也能满足这些条件
（1）在前面得到的可能值11、30、59、89中
（2）只有30的约数个数为8，其余约数个数都为2，因为甲知道n约数个数，所以只有当约数个数是8时，甲才能根据乙能确定n的值这一信息，因此n=30
【问题解决途径】对甲、乙两人对话细致分析，逐步缩小n的可能取值范围
来源：偶像追踪者
