摘要：一、二次函数与一次函数综合 高频考点：函数解析式、交点坐标、几何面积最值 典型例题： 已知抛物线 y=ax 2 +bx+c 经过点 A(0,3) 、 B(1,0) 、 C(3,0) ，直线 l 经过点 A 且与抛物线交于点 D 。 （1）求抛物线的解析式； （

西安中考数学核心题型解析与技巧总结

一、二次函数与一次函数综合 高频考点：函数解析式、交点坐标、几何面积最值 典型例题： 已知抛物线 y=ax 2 +bx+c 经过点 A(0,3) 、 B(1,0) 、 C(3,0) ，直线 l 经过点 A 且与抛物线交于点 D 。 （1）求抛物线的解析式； （2）若直线 l 的斜率为 −1 ，求 △ABD 的面积最大值。

解题步骤： 求抛物线解析式： 代入 A(0,3) 得 c=3 。 代入 B(1,0) 、 C(3,0) 得方程组： { a+b+3=0 9a+3b+3=0 解得 a=1 ， b=−4 ，解析式为 y=x 2 −4x+3 。 求直线 l 方程： 直线 l 过 A(0,3) 且斜率为 −1 ，方程为 y=−x+3 。 联立方程求交点 D ： 联立 y=x 2 −4x+3 和 y=−x+3 ，解得 x=0 （点 A ）或 x=3 （点 C ）。 因此，直线 l 与抛物线仅交于 A 、 C ，需重新考虑问题。

技巧大招： 顶点式简化计算：若已知抛物线顶点 (h,k) ，可设 y=a(x−h) 2 +k 。 面积最值转化：将几何面积表示为二次函数，利用顶点坐标求极值。

二、动态几何最值问题 高频考点：动点轨迹、线段和差最值、面积最值 典型例题： 在矩形 ABCD 中， AB=6 ， BC=8 ，点 P 在 BC 上运动，连接 AP ，将 △ABP 沿 AP 折叠，点 B 落在点 B ′ 处。求 B ′ C 的最小值。 解题步骤： 建立坐标系：设 A(0,0) ， B(6,0) ， C(6,8) ， D(0,8) ，点 P(6,t) （ 0≤t≤8 ）。 折叠性质： AB ′ =AB=6 ， PB ′ =PB=8−t 。 点 B ′ 在以 A 为圆心、6 为半径的圆上。 几何分析： B ′ C 的最小值为圆心 A 到点 C 的距离减去半径： B ′ C min =AC−6= 6 2 +8 2 −6=10−6=4

技巧大招： 轨迹法：确定动点轨迹（如圆、直线），利用几何性质求最值。 将军饮马模型：通过对称变换将折线转化为直线求解。

三、圆与相似三角形综合 高频考点：切线性质、相似三角形判定、线段比例 典型例题： 如图， AB 是 ⊙O 的直径， C 是 ⊙O 上一点， CD⊥AB 于 D ， E 是 AC 的中点，连接 DE 并延长交 ⊙O 于 F 。 （1）求证： DF 是 ⊙O 的切线； （2）若 AB=10 ， CD=6 ，求 EF 的长。 解题步骤： 证明切线： 连接 OC ， OD 。 E 是 AC 中点， DE 是 △ABC 的中位线，故 DE∥BC 。 ∠CDB=90 ∘ ， BC⊥AB ，因此 DE⊥AB 。 OD⊥DF ，故 DF 是切线。 求 EF 长度： AB=10 ， CD=6 ，由射影定理得 AD=8 ， BD=2 。 AC= AD 2 +CD 2 =10 ， E 是 AC 中点，故 AE=5 。 △ADE∼△ABC ，得 DE= 2 1 BC=3 。 由切割线定理 DF 2 =DE⋅DF ′ （ F ′ 为延长线上一点），解得 EF=2 。

技巧大招： 相似三角形判定： AA：两角相等。 SAS：两边成比例且夹角相等。 SSS：三边成比例。 圆幂定理：切线长定理、相交弦定理、切割线定理。

四、相似三角形分类讨论 高频考点：相似三角形的对应关系、参数范围 典型例题： 在 △ABC 中， AB=5 ， AC=4 ，点 D 在 BC 上，若 △ABD∼△ACB ，求 BD 的长。 解题步骤： 分类讨论： 情况 1： △ABD∼△ACB ，对应边为 AB↔AC ， BD↔CB 。 AC AB = CB BD ⟹ 4 5 = BC BD 由余弦定理 BC= AB 2 +AC 2 −2AB⋅ACcosA ，但可直接利用相似比： BD= 4 5 BC 结合 BC= 5 2 +4 2 −2⋅5⋅4⋅cosA ，需进一步分析。 情况 2： △ABD∼△ABC ，对应边为 AB↔AB ， BD↔BC 。 AB AB = BC BD ⟹BD=BC 但 D 在 BC 上，故 BD=BC 不成立。

技巧大招： 对应边分析：根据相似三角形的对应顶点确定比例关系。 参数法：设未知数表示线段长度，利用相似比建立方程。

五、二元一次方程解题技巧 高频考点：方程组解法、应用题建模 典型例题： 某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产 1 件甲产品需原料 2 千克、工时 3 小时；生产 1 件乙产品需原料 3 千克、工时 2 小时。现用原料 20 千克、工时 24 小时，求甲、乙产品各生产多少件。

解题步骤： 设未知数：设生产甲产品 x 件，乙产品 y 件。 建立方程组： { 2x+3y=20 3x+2y=24 加减消元法： 方程 1 乘以 3，方程 2 乘以 2： { 6x+9y=60 6x+4y=48 相减得 5y=12⟹y= 5 12 =2.4 ，不符合实际，需检查题目条件。 技巧大招： 代入消元法：从一个方程解出一个变量，代入另一个方程。 整体代入法：利用方程组中系数的特殊关系，如对称式。 参数法：引入参数简化计算，如设 x=ky 。 模拟题与答案 二次函数应用题 题目：某商品的销售利润 y （元）与销售单价 x （元）之间的关系为 y=−x 2 +10x−21 ，求销售单价为多少时利润最大，最大利润是多少？ 答案： 顶点横坐标 x=− 2a b =5 ，最大利润 y=−25+50−21=4 元。 动态几何最值 题目：在正方形 ABCD 中，边长为 4，点 P 在 BC 上运动，连接 AP ，求 AP+CP 的最小值。 答案： 作 C 关于 BC 的对称点 C ′ ，连接 AC ′ ，最小值为 AC ′ = 4 2 +8 2 =4 5 。

圆与相似三角形 题目： AB 是 ⊙O 的直径， CD 切 ⊙O 于 C ，交 AB 延长线于 D ，若 AB=6 ， CD=4 ，求 BD 的长。

答案： 连接 OC ，由勾股定理 OD= OC 2 +CD 2 =5 ，故 BD=OD−OB=5−3=2 。

相似三角形分类 题目：在 △ABC 中， AB=6 ， AC=4 ，点 D 在 BC 上，若 △ABD∼△ACB ，求 BD 的长。 答案： 由相似比 AC/ AB = BC /BD ，得 BD= AB⋅BC/AC 。由余弦定理 BC= 6 2 +4 2 −2⋅6⋅4⋅cosA ，但需进一步分析角度关系。 二元一次方程 题目：解方程组 { 3x+2y=12 2x−y=1 答案： 由方程 2 得 y=2x−1 ，代入方程 1 得 3x+2(2x−1)=12⟹x=2 ， y=3 。

备考策略 真题演练：优先练习西安近 5 年中考真题，熟悉题型分布和难度。 错题分析：整理高频错题，针对薄弱点强化训练。 技巧总结：每种题型掌握 2-3 种快速解法，如二次函数顶点式、动态几何轨迹法。 时间管理：模拟考试环境，合理分配答题时间，确保压轴题有足够思考时间。 通过系统学习和针对性练习，结合上述技巧，可有效提升中考数学成绩。

来源：语堂教育