摘要：1907年，英国作家兼数学家亨利·欧内斯特·杜德尼（Henry Ernest Dudeney）提出了一个有趣的难题：一个等边三角形能否被切成尽可能少的碎片，然后重新排列成一个完全正方形？仅仅四周后，他就公布了一个优雅的解决方案，证明只需要四个部件。这种将一个形

研究人员已经用一种新颖的方法证明，Dudeney著名分割问题的原始解决方案确实是最佳解决方案。

1907年，英国作家兼数学家亨利·欧内斯特·杜德尼（Henry Ernest Dudeney）提出了一个有趣的难题：一个等边三角形能否被切成尽可能少的碎片，然后重新排列成一个完全正方形？仅仅四周后，他就公布了一个优雅的解决方案，证明只需要四个部件。这种将一个形状切割成碎片并重新排列成另一个形状的方法被称为分割。分割的一个核心挑战是最小化将一个多边形转换成另一个多边形所需的碎片数量 —— 这个问题几个世纪以来一直吸引着数学家、拼图爱好者和问题解决者。

杜德尼之谜仍然是最著名的几何分割例子之一。除了对数学家的吸引力之外，分割问题在纺织设计、工程和制造等领域也有实际应用。在杜德尼提出解决方案120多年后，一个问题仍然存在：是否有可能用少于4块的碎片解决这个难题？

一个开创性的数学证明

在一项开创性的研究中，来自日本先进科学技术研究所（JAIST）的Ryuhei Uehara教授和助理教授Tonan Kamata，以及麻省理工学院的Erik D. Demaine教授终于回答了这个问题。他们证明了Dudeney的原始解是最优的。

“一个多世纪后，我们终于解决了杜德尼之谜，证明了等边三角形和正方形没有三个或更少的多边形碎片的共同分割，”Uehara教授说。“我们使用了一种利用匹配图的新颖证明技术来实现这一点。”他们的研究于2024年12月5日发表在开放存取知识库arXiv上，并于2025年1月在第23届LA/EATCS-Japan理论计算机科学研讨会上发表。

在他们的研究中，研究人员证明了一个关键定理：当等边三角形和三块或更少的正方形被禁止翻转时，它们之间没有分割。Dudeney最初的解决方案也不涉及翻转。为了建立这一点，研究人员首先通过分析问题的几何约束排除了两件式分割的可能性。

接下来，他们系统地探索了三段式分割的可能性。利用分割的基本特性，他们缩小了三件式分割可行的切割方法组合。最后，他们使用匹配图的概念严格证明了这些三片分割的组合都是不可行的，从而证明了正方形和等边三角形之间的分割不能用三个或更少的碎片来实现。

匹配图的作用

匹配图在他们的证明中起了核心作用。在这种方法中，用于分割的切割块集被简化为一个图结构，该图结构捕获了块的边缘和顶点之间的关系，形成三角形和正方形。研究人员发现，这种方法不仅适用于Dudeney难题，也可以普遍应用于其他分割问题。

据说，自从人类开始加工兽皮制作衣服以来，就存在着裁剪和重新排列形状的问题。在使用薄材料的任何情况下也会遇到这样的问题，”Uehara教授解释说。“我们的证明为理解和解决分割问题开辟了新的视野。”

尽管许多分割问题已经通过寻找具有一定数量碎片的解来解决，但从来没有正式的证明表明使用尽可能少的碎片的特定解是最优的。这项研究开发的技术是第一个证明这种最优性的技术。“我们的技术表明，对于现实世界的切割和重排问题，最佳的分割是可能的。随着进一步的改进，它也可能导致发现分割问题的全新解决方案，”Uehara教授总结道。

来源：知新了了